一类非负递增系数多项式的对数凹性质

具有对数凹性的序列经常出现在组合数学、代数、几何、计算机科学及概率论与数理统计中，对数凹性的研究对了解组合序列的分布不无益处，它是获得不等式的丰富源泉。近年来，对数凹性问题已成为组合界研究的热点问题之一，该问题的研究对组合学的发展有深远影响。. 本课题首先针对由非负递增系数多项式变换得到的一类多项式的多重对数凹性展开系统深入的研究，证明了此类多项式具有二重对数凹性。做为直接推论，证明了Boros-Moll序列具有二重对数凹性。另一方面，我们还考虑了Boros-Moll序列的无穷对数凹性，通过证明Branden的一个猜想，给出了Boros-Moll序列具有二重对数凹性的另一种证明，此外还证明了该序列也具有三重对数凹性。. 本课题有着广泛的组合学应用背景，为近年来备受关注的前沿课题，已吸引了越来越多的著名专家和学者，也必将引起更大的研究热潮。

多项式或序列的对数凹性是组合数学的一个重要研究课题，在组合、代数、几何、分析、概率论与数理统计等数学分支中出现的很多有意义的多项式和序列都具有对数凹性。多重对数凹性和无穷对数凹性的概念由Boros和Moll教授在2004年研究Boros-Moll多项式（记为Pn(x)）时引入。本项目围绕一类系数是非负递增的多项式的多重对数凹性问题展开研究，着重研究了Boros-Moll多项式序列的对数凹性和多重对数凹性问题。. 本项目主要进展如下：. 第一，项目组成员给出了一种赋权的染色排列结构，利用此结构给出了Boros-Moll多项式系数序列满足的递归关系的组合证明， 并由此给出Boros-Moll多项式序列的对数凹性的组合解释。. 第二，通过证明由Boros-Moll多项式变形得到的两个多项式序列的实根性，项目组证明了Boros-Moll多项式具有二重对数凹性和三重对数凹性。这是迄今关于Boros-Moll多项式无穷对数凹性猜想的最好结果。. 进一步地，项目组还针对系数非负递增的这一类多项式P(x), 研究了由它变换得到的多项式P(x+1)的二重对数凹性质，目前这方面的工作还在进行中。