组合多项式的对数凹性

The study of the distribution properties of the combinatorial sequences (or polynomials) is one of the most basic problems in combinatorics. The unimodality is an important distribution property, including unimodality, log-concavity, log-convexity, the real zeros of polynomials and so on. It is one of the hot topics in recent years and is an active research field of the international combinatorialists.. In this project, we will mainly study the log-concavity of the combinatorial polynomials. We will focus on the higher order of log-concavity, the combinatorial proof of the log-concavity of classic combination polynomial and relevant study. We believe that the results will be interesting contributions to unimodality problems, and the study will be of importance in various fields.

对组合序列（或多项式）分布性质的研究是组合数学中最原始最基本的问题之一。其中一类重要的分布性质是序列的单峰型性质，具体包括单峰性、对数凹性、对数凸性、实根性等。组合序列的单峰型问题是近年来组合数学研究的热点之一，是组合学界一个非常活跃的研究领域。其中多项式的单峰性，对数凹性以及实根性等性质已被广泛的研究。. 在本项目中，我们主要开展对多项式对数凹性质的研究。我们将围绕一些经典的组合多项式，研究它们的对数凹性质的组合证明，高阶对数凹性以及相关问题。本项目的研究成果将有助于促进单峰型问题的发展，为单峰型性质在其他领域的应用提供更多的理论支持。

组合序列分布性质的研究是组合数学中最古老和最基本的问题之一，是近年来国际组合学界一个非常活跃的研究领域，包括单峰性、对数凹性、实根性等。对单峰形问题的研究始于19世纪大数学家Sylvester运用不变量理论证明了Gauss多项式的系数构成了一个单峰序列。1989年，国际组合学界领袖之一的Stanley院士给出了单峰形问题的第一篇综述，并提出一系列猜想，由此单峰形问题的研究成为热点问题之一。. 在本项目中，本项目主要用组合的方法来证明错排多项式的对数凹性。具体来说，项目组构造了一个双射，将错排多项式与满足一定限制条件的带标号的格路一一对应起来，然后利用各路段几何性质构造了一个合适的单射。利用这种结构，项目组还得到了关于错排多项式和欧拉多项式的交错对数凹性质的一个漂亮而简洁的证明。