幂零李群上热核估计的几个问题

The aim of this project is to study the precise estimates for the heat kernel on nilpotent Lie groups with or without Hardy potential, where Hardy potential is associated with Carnot-Caratheodory distence and Koranyi norm and satisfies the Hardy inequality. We shall establish precise estimates for the heat kernel on some nilpotent Lie groups which is not H-type. Furthermore, this estimate will be similar to that on Heisenberg group. Next, we shall consider the Hardy inequality related to Carnot-Caratheodory distance and look for the sharp constants. The proof will depend on a series of integral representation formula. Once the Hardy inequality is established, we shall study the precise estimates for the heat kernel with Hardy potential. If the potential is associated Koranyi norm, the method we use will be similar to that on Eucleadean space. If the potential is associated Carnot-Caratheodory distance, the method will be similar to that of Coulhon et al and Filippas et al which depend on the analyticity of heat kernel.

本项目主要研究幂零李群上的热核估计以及以及带Hardy位势的热核估计问题，这里的位势函数将分别由 Koranyi范和Carnot-Caratheodory 距离构成，并受Hardy不等式控制。旨在非H型幂零李群上建立类似于Heisenberg群情形的热核估计；在一般的幂零李群上通过建立一系列关于Carnot-Caratheodory 距离的积分表示公式，来得到关于此距离的Hardy不等式以及最佳常数，并在此基础之上考虑带Hardy位势的热核估计问题。如果位势函数由Koranyi范构成，将利用Koranyi范在光滑性与欧式空间的距离相同这一事实，采用类似于欧式空间情形的做法；如果位势函数由Carnot-Caratheodory 距离构成，将通过群上热核的解析性质，利用Coulhon和Filippas等人创立的方法做相应的估计。

本项目主要研究一类幂零李群上带Hardy位势的热核估计问题,完备单连通负曲率流形上与测地距离相关的的Hardy不等式和Moser-Trudinger不等式，以及平面有界凸区域上的Hardy-Moser-Trudinger不等式. 首先， 热核估计方面，我们证明了在有界区域上 关于Grushin算子的Hardy不等式可以添加类似于Brezis–Vazquez, Vazquez–Zuazua 和Filippas–Tertikas的余项. 利用该不等式以及由Filippas和Tertikas发展的方法，不难验证Grushin算子带Hardy余项的热核估计。从而H型幂零李群上的相关问题由此不难得到。另外我们也证明了关于Grushin算子的Sobolev不等式可以添加到极值函数之间距离的余项。其二，我们在完备单连通负曲率流形M上建立了最佳的Hardy不等式。同时在该流形上建立了一类Moser-Trudinger不等式，包括了有界和无界两种情形。进一步，组合上述两种结果，我们在该流形上得到了一类插值不等式，此类插值不等式与Hardy不等式和Moser-Trudinger不等式相关。并且，所有上述不等式中的常数都是最佳的。最后，Wang 和 Ye在文献 [Adv. Math. 230 (2012) 294-320]中猜测，在一个正则的有界凸集上存在某种Hardy-Moser-Trudinger不等式。利用黎曼映照定理，我们在任一有界凸集上证实了他们的猜测，并且不需要对边界做任何正则性假定。