网络结构与粒子碰撞的相互关系

本项目研究网络结构与粒子碰撞的相互关系。给定一个网络。网络上的粒子进行独立的简单随机游动。粒子在运行过程中时而相分，时而相合。显然，粒子在网络上的行为受到网络结构的约束。反过来，粒子的分分合合又能够反映网络的结构。事实上，网络结构与粒子碰撞的相互关系已逐渐地成为国内国际上的一个研究热点。研究网络结构与粒子碰撞的相互关系有助于随机游动和电流网络的理论发展，将在粒子系统得到广泛的应用。本项目旨在给出网络结构与粒子碰撞次数的一般判断准则: 在什么样的网络结构上, 两个粒子相遇无穷次; 在什么样的网络结构上，两个粒子相遇有限次。

给定一个网络，考虑许多粒子在其节点上游动。这些粒子在运行中可能会相互碰撞，相互影响。显然，粒子相互频繁碰撞，则粒子系统的行为随着时间增长趋向一致；反之，粒子相互碰撞如果只有有限次，则粒子系统的行为很可能不能达到动态平衡。因此，本项目主要给出某类图是否有无穷次相遇的判断准则。我们得到，在整数网格上的无穷开簇保留着原来网格的性质。即，当维数$d=1,2$时，粒子无穷次相遇；而当维数$d\ge3$时，粒子只有有限次相遇。同时，我们研究梳子图并给出一个判断标准，当梳子的边界函数$f(x)$满足$f(x)\le x\log x$则其上相互独立的两个简单随机游动无穷次相遇；反之，若$f(x)= x(\log x)^\beta, \beta\ge 2$则两个随机游动有限次相遇；而且，我们得到当$\{f(x),x\in Z\}$独立同分布且期望存在时，三个相互独立的简单随机游动无穷次三个同时碰在一起。我们还研究楔子图，得到楔子图无穷次相遇问题与常返问题等价，得到通过求与$x$轴方向垂直的截面体积， 直接判断是否无穷次相遇的准则。此外，我们研究了接触过程在随机环境中的极限行为，以及随机游动的热核估计，值域大小。