某些偏微分方程解的零点集结构研究

In this project, we study dynamics and geometric construction of nodal set of solutions for some partial differential equations. We focus on Gross-Pitaevskii equations about Bose-Einstein Condensates, Ginzburg-Landau model for superconductivity on sphere and Maxwell-Higgs model. These problems are very important both in theoretic physics and in differential geometry. The purpose of this project is to promote better understanding of the relation of theoretic physics and geometry.

本课题研究Bose-Einstein condensate、 球面上超导Ginzburg-Landau模型及Maxwell-Higgs模型方程解的零点集结构及其动力学行为。这类问题有强烈的物理背景，又与几何发展方程密切相关，是当前偏微分方程及微分几何领域非常活跃的课题。研究这些问题能更好地理解几何与物理的关系。

本项目主要研究了来源于Bose-Einstein 凝聚的奇异扰动问题解的零点集结构及其动力学行为，获得的主要结果有：（1）L.Caffarelli和林芳华在文[J. Amer. Math. Soc., 2008] 中，证明了零点集除去闭的Hausdorff维数不超过n-2的奇点集外是正则的。我们将这一结果进行了实质性地改进，证明了零点集除去n-2维Hausdorff为零的部分外是正则的。（2）刻画了具分数次Laplace算子的奇异扰动问题解的零点集结构。相对于经典BEC模型，分数次模型的零点集结构有新现象发生，我们证明了零点集除了正则和奇异部分外还有第三类点存在，这类点的Hausdorff维数有可能达到n-1,但其具体性质尚不清楚，有待进一步研究。其次，我们还研究了若干带自由边界条件的抛物型方程或方程组的动力学行为以及分数次Keller-Segel趋化模型的衰减估计。最后我们对黎曼流形上一般几何流下热方程进行了研究，得到了一些微分Harnack不等式、几何算子的特征值单调性和Sobolev不等式，最终利用这些结果得到流形的局部几何性质。