一类半线性椭圆方程解的零点集的测度估计

In this project, we plan to study the measure estimates of nodal sets of solutions of a kind of second order semi-linear elliptic equations. We want to use the PDEs theory, the variational theory, geometric analysis, and the geometric measure theory to study this problem. By using the integral geometric formula and the isometric inequality, we estimate the bounds from above and below of the measure of nodal sets of the solutions of the second order semi-linear elliptic equations. The second order semi-linear elliptic equations are between the second order non-linear elliptic equations and the second order linear elliptic equations. So we can reference the research function of the nodal sets of solutions of second order linear elliptic equations. Through the research of the above problem, we can extend the the research of nodal set, and enrich the PDEs theory.

本项目拟研究一类二阶半线性椭圆型方程的解的零点集的测度估计的问题。我们希望通过调和分析，偏微分方程理论，变分法，复分析，几何分析以及几何测度论的方法，运用积分几何公式，等周不等式等工具，来估计该类方程的解的零点集的上界以及下界。对椭圆型方程解的零点集的研究是偏微分方程理论中的重要组成部分，也是椭圆型方程中的热点问题之一。二阶半线性椭圆型方程是非线性方程当中非线性程度较低的一种方程，其二阶项与线性椭圆方程相同。所以对这类方程的解的零点集的研究，既与线性椭圆方程的解的零点集的研究方法有所区别，又可以借鉴线性方程的研究方法。这就给我们的研究提供了参考和一些思路。通过对上述二阶半线性椭圆型方程的零点集的研究，可以推广对零点集的研究结果，进而丰富偏微分方程的理论。

本项目研究了如下的一些问题并得到了相应的结论。.1、.Grushin球面调和函数的零点区域的问题。结论为，对于k阶球面齐次Grushin调和函数而言，当k不是4的倍数时，其零点区域的下界为2；当k是4的倍数时，其零点区域的下界至少为3。该结论已形成论文，并发表于 Nonlinear Analysis。.2、.多重函数的零点集测度估计问题。我们给出了欧氏空间中k重调和函数的频率函数及其性质，即频率函数的单调公式，以及相应的双条件不等式，并给出了k重调和函数零点集的测度估计为与k重调和函数的k个频率函数的和成正比。该结论已经形成论文，并投稿至Chinese Annals of Mathematics，已接收。DOI号为：10.1007/s11401-007-0001-x。.3、.双Laplace算子特征函数零点集的测度估计。我们考虑欧氏空间中，区域边界光滑且分片解析，但在有限个n-2维子流形上不解析的情况。我们将双Laplace算子的特征方程改写为两个方程组成的方程组，并就这个方程组展开分析，定义了相应的频率函数，双指标，并给出了频率函数的单调公式，以及特征函数的双条件不等式，并得到频率函数在远离不解析部分和接近不解析部分的上界估计，并由此给出了特征函数的零点集的测度估计。该结论已经写成论文，投稿至Calculus of Variations and Partial Differential Equations，并上传至arXiv，编号为arXiv:1709.00153。.4、.带Robin边界条件的Laplace算子的特征函数的零点集估计。我们考虑了欧氏空间中Laplace算子的带Robin边界条件的特征函数的零点集的测度估计。当区域边界解析时，我们得出结论，其零点集的上界与Robin边界条件中的常数无关；当区域边界光滑，分片解析，但在有限个n-2维子流形上不解析时，我们给出了一个零点集的上界估计，该估计与特征值和Robin边界条件中的常数的关系有明确的表达式。该结论已经写成论文，投稿至Mathematische Annalen，并上传至arXiv，编号为arXiv:1801.02114。.5、.光滑流形上双调和函数的零点集的测度估计。我们给出了光滑流形上，双调和函数零点集的估计。该结论已经写成论文，正在修改中。