预定平均曲率的Plateau问题

In this project we will study the Plateau problem with prescribed mean curvature in three-dimensional manifolds with a fixed boundary curve. Namely we will seek surfaces to achieve the minimum of the prescribed mean curvature energy functional. Mainly we will study the following:(1) the property of the solution to the Plateau problem with prescribed mean curvature, for example, its existence, unqiueness and its topological information and curvature estimate;(2) the generalization of the Plateau problem with prescribed mean curvature, for instance, the Plateau problem without boundary, the Plateau problem with prescribed mean curvature measure and the high dimension version of the Plateau problem. The main tools in this project are geometric measure theory, mean curavature equation, curvature flow and calculus of variation. The solution to the Plateau problem with prescribed mean curvature is a prescribed mean curvature surface in three-dimensional manifolds. Therefore our project will push forward to the study of the geometry and topology of three-dimensional manifolds.

本项目将研究三维黎曼流形中固定边界曲线预定平均曲率的Plateau问题。换言之本项目将寻找实现预定平均曲率的能量泛函的极小值的曲面。具体如下:(1)研究预定平均曲率Plateau问题解的性质，如存在性、唯一性、拓扑性质和对应的曲率估计;(2)研究预定平均曲率Plateau问题的推广，如没有固定边界曲线的Plateau问题、预定平均曲率测度的Plateau问题、高维版本对应的Plateau问题。本项目的主要工具是几何测度论、平均曲率方程、曲率流和变分法等。预定平均曲率的Plateau问题的解是三维流形中预定平均曲率的曲面。因此本项目的研究将有助于更好的理解三维流形中拓扑和几何的联系。

各种形式的Plateau问题是微分几何的一个重要的基本问题。而共形锥中固定边界的极小图可以看作这种问题的一个简单的情形。本项目首先考虑了转移平均曲率方程的Dirichlet问题。提出了n(>=2)维光滑有界区域的NCM条件，即在该区域的闭包内不能包含闭的嵌入的至多带(n-8)-维奇异点的极小超曲面。所有欧式空间，双曲空间的有界区域都满足这种条件。我们证明了如果一个光滑，满足NCM条件的有界区域，其上的转移平均曲率方程的Dirichlet问题有唯一解。我们在标准半球面上举了一个例子说明NCM条件不可去掉。其次我和高强合作，研究了共形因子只依赖于高度函数的共形锥的极小面积问题，证明了若共形因子的一次，二次导数为正，一致有界，有界光滑区域是平均凸，NCM的条件下，在共形锥内Liptschitz的图边界的面积最小问题的解存在且唯一，这个解是一个的极小图。 我们还研究了共形因子只依赖于流形的情形的共形锥内的极小图和面积最小问题。