模糊凸空间理论的研究

The theory of convex spaces via abstracting the basic properties of convex sets is a mathematical branch which deals with set systems. With the development of fuzzy mathematics, the theory of convex spaces has been combined with fuzzy set theory. This leads to the new research object of L-convex structures. From a completely new aspect, our team first proposed the concepts of M-fuzzifying convex structures and (L,M)-fuzzy convex structures and obtained many good results. Considering the research situation of the whole theory of fuzzy convex spaces, we will consider the following three problems: (1) For M-fuzzifying convex structures, we will study its equivalent descriptions and degree characterizations. Then we will aim to establish a complete theoretical system of M-fuzzifying convex spaces; (2) Considering M-fuzzifying convex structures as the centre, we will introduce other related fuzzy spatial structures and establish their mutual relations from a categorical aspect; (3) In the framework of L-convex spaces and (L,M)-fuzzy convex spaces, we will propose the basic concepts and study their basic properties. Then we will aim to establish a general framework of L-convex spaces and (L,M)-fuzzy convex spaces. The results obtained in this project will provide a theoretical foundation for the development and completion of the whole theory of fuzzy convex spaces.

凸空间理论是通过抽象凸集的基本性质而得到的一门处理集合系统的数学分支。随着模糊数学的发展，将凸空间理论与模糊数学理论相结合，产生了L-凸结构这一新的研究对象。从一个全新的角度，我们研究团队首次提出了M-模糊化凸结构和(L,M)-fuzzy凸结构的概念，并得到了很多理想的结果。结合当前整个模糊凸空间理论的研究现状，本项目拟考虑如下三方面的问题:(1)针对M-模糊化凸结构，研究其等价描述和程度式刻画，建立较为完整的M-模糊化凸空间理论体系；(2)以M-模糊化凸结构为中心，引入与之相关的模糊空间结构，借助范畴为工具界定它们之间的内在联系；(3)在L-凸空间和(L,M)-fuzzy凸空间框架下，引入基本概念，讨论其基本性质，建立L-凸空间和(L,M)-fuzzy凸空间的基本理论框架。这些研究将为整个模糊凸空间理论的发展和完善奠定理论基础。

凸空间理论是通过抽象不同数学结构中不用形式的凸集的共同特征而得到的一个处理集合系统的数学分支。基于凸集的广泛存在性，凸结构理论也与众多的数学结构理论紧密相关。随着模糊数学理论的发展，凸空间理论与模糊数学理论相结合，进而产生了模糊凸空间理论这一新的研究方向。尤其受到模糊拓扑学的影响，先后产生了L-凸结构、M-模糊化凸结构和(L,M)-模糊凸结构三种代表性的模糊凸结构。该项目采用模糊数学的程度化思想，系统研究了M-模糊化凸空间和L-凸空间理论，包括它们的代数性质、几何性质、分离性质和等价刻画等，并借助范畴论为工具，详细讨论了这两种模糊凸结构与相关的模糊数学空间结构之间的范畴关系；针对最为宽泛的(L,M)-模糊凸空间，主要提供了其凸包算子刻画和区间算子描述，为(L,M)-模糊凸空间理论的深入研究提供了基础研究工具。综合上述三种模糊凸结构的相关研究，该项目搭建了整个模糊凸空间的基本理论框架。受到模糊凸空间理论的启发，本项目还在模糊拓扑学领域做了进一步的研究，包括模糊拓扑的刻画和模糊紧性等，尤其是对模糊拓扑凸结构理论做了初步的探索，为融合模糊拓扑学和模糊凸结构理论奠定了基础，也进一步完善了模糊拓扑学。此外，本项目还在序和domain理论、以及粗糙集理论的公理化方面做了相关的研究，探索了模糊凸结构的内在序性质，以及在粗糙集实际应用中的潜在价值。本项目验证了这些理论与凸结构理论相结合的可行性，这也进一步证实了凸空间理论涉及的数学分支之多，应用范围之广，与其它数学分支联系之紧密。本项目建立的模糊凸空间理论是一种全新的研究领域，为与凸结构相关的数学结构的研究以及相关数学分支的研究提供了一种新思路，同时也为凸集理论，尤其是模糊凸结构在实际问题中的应用奠定了理论基础，这使得我们对于模糊凸空间理论的研究工作更具有理论价值。