模糊收敛结构及其在公理化凸空间中的应用

Fuzzy convergence structures, which are related closely to fuzzy topological structures, become one important research object of fuzzy topology since it can remedy a defect of fuzzy topological structures in categorical properties. Fuzzy convex structures are also closely related to fuzzy topological structures, and they have many similar features in many aspects. Combining the current research on fuzzy topological structures, fuzzy convergence structures and fuzzy convex structures, we realized that the theoretical system of (L,M)-fuzzy convergence is not perfect, and applying the methods of fuzzy topology and fuzzy convergence to fuzzy convex structures will become a research tendency of the theory of fuzzy convex spaces. Based on the present situation, our project has two aims: (1) To establish a systematic (L,M)-fuzzy convergence theory, including the improvement of the existing (L,M)-fuzzy convergence structures and the establishment of M-valued L-prefilter convergence structures; (2) To establish fuzzy convex convergence theory in the framework of fuzzy convex spaces and to make clear the categorical relations between fuzzy convex spaces and fuzzy convex convergence spaces. It will be pointed out that fuzzy convex convergence structures have more general sense than fuzzy convex structures. As a consequence, this project will greatly enrich and perfect the theory of (L,M)-fuzzy topology and will lay the foundation for further development of the theory of fuzzy convex spaces.

模糊收敛结构是与模糊拓扑结构紧密相关的一种结构，因能弥补模糊拓扑结构范畴性质方面的不足而成为模糊拓扑学的重要研究对象。模糊凸结构也与模糊拓扑结构关系紧密，两者很多方面具有相似的特征。结合当前模糊拓扑结构、模糊收敛结构和模糊凸结构的研究工作，我们意识到(L,M)-fuzzy收敛理论的研究尚不完善，而且将模糊拓扑和模糊收敛的方法应用到模糊凸结构中将成为模糊凸空间理论的发展趋势。因此，本项目拟做如下两方面的工作：(1) 建立系统的(L,M)-fuzzy收敛理论，包括完善已有的(L,M)-fuzzy收敛结构和引入M-值的L-预滤子收敛结构；(2) 建立模糊凸空间框架下的模糊凸收敛理论，明确模糊凸空间和模糊凸收敛空间的范畴关系，并指明模糊凸收敛结构是较模糊凸结构更具一般意义的空间结构。这些研究内容既能丰富和完善(L,M)-fuzzy拓扑学理论，也将为模糊凸空间理论的进一步开展奠定基础。

模糊收敛结构因具有比模糊拓扑结构更好的范畴性质而成为模糊拓扑学的重要研究对象。模糊凸结构广泛存在于多种数学研究框架并与诸多空间结构紧密相关。本项目便以此为出发点进行了如下三个方面的研究：首先，在模糊拓扑框架下，系统讨论了L-模糊化收敛空间和满层的L-广义收敛塔空间的范畴性质，包括笛卡尔闭性、单点扩张性和商映射可乘性。基于L-预滤，引入了满层的L-预滤收敛结构，验证了其范畴是笛卡尔闭的拓扑范畴，而且建立了它与满层的L-拓扑的范畴关系；其次，在模糊凸空间框架下，分别针对三种模糊凸结构，系统研究了其凸包算子、区间算子、基和子基等基本概念，证明了模糊凸包算子可以刻画模糊凸结构，利用基公理和子基公理可以生成模糊凸结构，模糊凸结构和模糊区间算子之间具有协调的范畴关系，通过这些基础研究工具的引入，搭建了模糊凸结构的基本理论框架；最后，将模糊收敛结构和模糊凸结构结合到一起，在L-凸结构和M-模糊化凸结构框架下，分别引入了L-凸收敛结构和M-模糊化凸收敛结构。然后以L-凸结构的远域和M-模糊化凸结构的凸包算子为桥梁，建立了L-凸结构和L-凸收敛结构之间的范畴关系以及M-模糊化凸结构和M-模糊化凸收敛结构之间的范畴关系，并借助模糊凸收敛结构描述了模糊凸空间的分离性质。通过本项目的研究，进一步丰富了模糊收敛结构理论和模糊凸结构理论，而且模糊凸收敛结构为研究模糊凸结构理论提供了一种新思想和新方法。