随机扰动下非线性动力系统的不确定行为及扰动敏感度的数值实验和分析

基于计算随机流体动力学，以受随机扰动的旋涡、不稳定分离、两相流动等实际流动为典型，对随机扰动非线性动力系统进行数值实验和非线性特征分析。研究状态随时间演化不确定性，系统外部随机扰动与系统内部不确定性相互作用，及对扰动的敏感性。因多尺度高自由度、多时间步计算量大，研究计算方法：如小波自适应多重网格、分段多单元、粗配置混沌展开等，构成高效随机过程求解器。采用离散涡法求解不稳定分离旋涡、速度场，作为两相流动基本流场。求解包含随机扰动项（源项、初始、边界条件）的不稳定两相流动。对求得随时间演化的浓度分布期望值、方差等进行非线性特征分析：包括稳定性、Lyapunov指数、相空间轨道，奇异吸引子、频谱、关联维数、熵等。以分析其不确定度、系统内外不确定性相互作用和敏感性。混沌体现了不确定性。随机函数解不再是确定的点，而是以均值为球心，方差为半径的球，球大小反映了扰动敏感性的强弱。为设计复杂流动系统服务。

摘要.在随机过程数值仿真中，由基于随机空间混沌展开谱方法所得到的是一组求解展开系数(随机模)的确定性偶合方程组。这是一个比所对应的确定性过程扩大许多倍的方程组。随采用的混沌展开所包含的独立随机维的增加和混沌多项式阶数的提高，其所求未知量个数迅速扩大。不仅如此，由于每个离散节点上的求解的未知量分量是随机模，反映的是不同尺度的涨落，这种具有节点意义上偶合的多尺度问题使传统的网格细化技术不再合适。为解决这难点，我们提出了小波动态自适应方法。在物理空间采用的空间细化技术使每个具有不同尺度的求解分量（随机模）的小波网格独立地自适应。我们首先对线性对流扩散方程提出这一新方法，继而将其进一步发展到非线性Burgers方程。我们实施该方法，建立了动态自适应多尺度小波计算机求解器，以对线性/非线性随机方程进行数值仿真。并对计算程序进行了与解析解比较的考核，验证了数值仿真的可信度。由输入随机扰动（如：随机流场和/或随机扩散系数）的算例展示了方法的特点。特别是，在不同的随机扰动下，各待求随机模的不同特征被自适应过程有效地捕捉。在此，我们观察到，即使输入受均布的扰动的流场，输出的各随机模仍然表现出非均布的不同的空间分布特性；输出的不确定量在物理量均值光滑的区域随时间衰减快（也在其他学者的物理算例中提及）。确认了每个随机模需要不同的网格解。.这样的随机仿真得到的解不再是确定性的点，而是包括所有可能解的一个球，球心是均值，半径对应标准差（方差的平方根），即对应均值的可能偏离度。因此也为随机非线性系统引出了一个能直接运用的，基于方差的敏感性分析的有效工具：求得敏感区和它随时间偏离度量的量化演变。.进行了系列数值实验。包括方程：对流-扩散方程、非线性Burgers方程；随机扰动项：输运速度项、扩散系数、初始条件等；扰动形式：完全关联的均布扰动，部分关联的随机扰动和Gaussian锥型集中扰动等。实验结果显示了扰动的发展途径和量化演变, 如即使是输运速度项初始全场受均匀扰动，随时间发展为不均匀的随机扰动，并向敏感区域集中。对初始条件的敏感性是非线性系统的主要特征，进行了数值实验。量化描述了非线性系统对初始条件微小扰动的敏感。数值仿真显示了初始扰动随时间的发展传播和急剧放大集中。在空间非均匀发展，集中于敏感区域。并初步揭示敏感区逐步向高梯度移动的规律：不论初始扰动是均布的还是集中的，敏感区都逐步向高梯