非线性反应扩散方程的渐近行为及其随机扰动

The classical reaction diffusion equation models play a very important role to explain all kinds of natural phenomenon and enrich the theory of partial differential equations.This project is focus on the reaction diffusion equations which come from the film theory, convection-explosion theory, lubrication theory, the spread theory of flame and wave, the evolutionary theory of atmospheric and oceanic dynamics and so on. From the point of view of infinite dimensional dynamical systems, we will study the existence of global attractors, exponential attractors or random attractors and character the analytical and geometrical properties of attractors. The main goal is to reveal the asymptotical behavior affected by the non-autonomous external forces, nonlinear reaction functions with strong nonlinearity, unbounded domains, higher order differential operators, fractional Laplacian. To describe the influence of stochastic external forces, indeterminate parameters, random media, random environment or stochastic boundary conditions, random input and stochastic initial conditions on the evolutionary behavior near the equilibria or the special solutions (e.g. traveling wave solutions) of nonlinear reaction diffusion equations. Furthermore, we will study the blow-up time of solutios and extension of solutions beyond the blow-up time to the stochastic reaction diffusion equations with Gaussian or non-Gaussian noises. Finally, we will give some aplications of stochastic control theory in reaction diffusion equation in population dynamics, neural field theory and the financial and economic theory.

经典的反应扩散方程在解释各种自然现象中起到很重要的作用，同时丰富了偏微分方程理论框架体系。本项目主要研究来源于薄膜理论、热爆炸理论、润滑理论、火焰和波的传播理论、大气与海洋动力学演化理论等领域的非线性反应扩散方程，从无穷维动力系统的角度研究全局吸引子、指数吸引子或随机吸引子的存在性，刻画吸引子的分析和几何性质。重点研究非自治外力、具有强非线性性的反应函数、无界区域、高阶微分算子、分数阶拉普拉斯算子等因素对非线性反应扩散方程解的渐近性态的影响，揭示随机外力、不确定参数、随机介质、随机环境或随机边界条件、随机输入和随机初始条件等对非线性反应扩散方程的平衡态、各种特殊解（如行波解等）附近流的演化行为的影响。刻画高斯噪声或非高斯噪声对非线性反应扩散方程解的爆破时刻、爆破解在爆破时刻后的延拓存在性等性质的影响。探索非线性反应扩散方程随机控制理论在种群动力学、神经场理论及金融经济模型中的应用。

在发展方程解的正则性方面，我们研究了具有分数阶耗散项的3维广义不可压缩Hall磁流体动力学方程Cauchy 问题解的全局存在性。由于Hall项的强非线性性, 不能直接利用MHD方程的相关结果，运用交换子估计处理Hall项时, 会出现"坏"的项，它既不能被磁场耗散项吸收, 也不能被正则项控制，克服了在低正则空间中速度场和磁场的一阶导数不能由它们的Sobolev范数控制的困难, 我们证明了初值在低正则 Sobolev 空间中解的局部适定性和小初值解的全局存在性。在调和分析和Schrodinger方程方面，我们研究了一类带高阶Kato类位势的分数阶薛定谔算子的L^p估计。对位势属于高阶Kato类的分数阶薛定谔算子，我们给出了关于时间t的一个多项式上界估计，与自由情形的薛定谔算子相比，无论是光滑指标还是时间t的增长阶数都几乎是最优的。同时，对整数情形的指标，我们得到了精确系数的一个高斯型上界估计；而对分数情形的指标，我们得到了多项式衰减估计。我们将Jensen等人关于二阶Schrodinger方程（带Kato类位势）的L^p估计推广到高阶（整数阶）情形及部分分数阶情形，为此在整数阶情形给出了相应的热方程的某种最优基本解估计，以及借助抽象解析函数的Laplace变换技巧给出了分数阶情形下的相应估计。另外，我们给出了Goldberg等人关于L^p极限吸收原理的某种临界情形及其对谱乘子定理的应用，同时还建立了分数阶Schrodinger算子的极限吸收原理。在发展方程的随机扰动方面，我们研究了一类纯跳意义下的期权定价模型，借助与莱维过程相应的拟微分算子、非局部偏微分方程等工具，利用Schauder 不动点定理，我们分别证明了欧式期权和美式期权定价问题的解在Holder 空间中的存在性，然后利用分数阶热核估计分别给出了欧式期权和美式期权定价问题所对应价值函数的正则性。同时我们还给出了层稳定过程 Levy-Khinchin 指数函数的渐近行为和层稳定过程的一些性质，在一些限制条件下，我们给出了偏微分-积分方程柯西问题解的短时间渐近行为。