本原置换群在对称设计上的作用

The research on all kinds of actions of automorphism groups on designs is an important part in the study of group theory.Now the international hot topic is:on the assumption that automorphism groups of designs have good transitivity,we try to decide the designs and their automorphism groups.A symmetric design is a design with equal numbers of points and blocks.After the classification of flag-transitive 2-(v,k,2) symmetric designs,our attention is focused on the classification problem of block-transitive symmetric designs.In this item,we study the action of primitive groups of almost simple type on block-transitive 2-(v,k,2) symmetric designs.We will use the classification theorem of finite simple groups, and discuss these four cases,that is,the sole of automorphism groups of designs are sporadic simple groups,alternating groups,exceptional simple groups of Lie type and classical groups,and solve the existsence,classification and constructing of designs.

研究自同构群在设计上的各种作用是群论研究中一个重要方面。目前国际上的研究前沿课题是：在假定设计的自同构群具有良好的传递性的条件下，试图决定设计和其自同构群。对称设计是点与区组数目相等的设计。随着旗传递2-(v,k,2)对称设计的分类完成以后，我们开始关注区传递对称设计的分类问题。本项目研究几乎单型本原群在区传递2-(v,k,2)对称设计上的作用。拟利用有限单群分类定理，将设计的自同构群的基柱分为以下四种情形：即零散单群，交错群，例外Lie型单群及典型群来讨论，解决设计的存在性及其分类和构造问题。

区传递设计的存在性和分类是一个热点问题。本项目主要研究了几乎单型本原群在区传递设计上的作用。对于自同构群的基柱为零散单群的情形，不仅证明了不存在λ≤10的区传递对称2-（v,k,λ）设计，并且给出了λ≤10的自同构群的基柱为零散单群M11, M12, M22, M23的区传递非对称设计的分类，而且几乎完成自同构群的基柱为M11的区传递设计的分类。对于自同构群的基柱为交错单群的情形，首先完善了λ≤10的旗传递对称设计的分类结果，接着考虑了自同构群的基柱为交错单群An,5≤n≤8的对称设计，并且给出了λ≤10的区传递对称设计的分类，与此同时证明了自同构群的基柱为交错单群An,n≥9时，自同构群的点稳定子群不可能本原地作用在点集{1,2,…n}上。目前，本项目共完成4篇论文，其他相关结果正在修改整理当中。