有限体积元法的L^2误差估计和超收敛性研究

项目概述：.首先以两点边值问题为模型,确定恰当的对偶剖分方式使得有限体积元法（FVEM）具最佳L^2收敛阶和超收敛性。并将其推广到二维二阶椭圆问题上，研究矩形网及任意凸四边形网上乘积型FVEM的收敛性，使其同样具有最佳的L^2收敛阶和相应的超收敛性。同时探索三角网上高次元FVEM的最佳阶L^2估计及超收敛性，当最佳的对偶剖分方式难于找到时，我们考虑修正有限体积元法的定义，使得对偶剖分方式变简单而又能具有最佳L^2收敛阶及其超收敛性。然后，研究线性抛物方程及线性双曲型方程FVEM的超收敛性，主要需分析有限体积元解与真解的椭圆投影差的超收敛性，包括全离散及半离散两种情形。然而，对于线性双曲方程的已有的有限元格式，相应的有限体积元格式未必已被构造出来，我们需要构造相应的新格式，并给出收敛性及超收敛性分析。以上所有问题，我们都将通过数值实验进行验证，并给出严格的理论证明。

本项目主要研究了有限体积元法的L^2估计和超收敛性。第一，以两点边值问题为模型，构造了Lagrange型二次元、三次元、四次元有限体积法并研究了它们的L^2模误差估计及超收敛性。第二，以二阶椭圆型方程为模型，研究了一般四边形网上的双线性有限体积元法的最佳阶L^2误差估计及超收敛性；构造了最佳的双二次有限体积元格式，并给出了收敛性及超收敛性的证明；建立了三角网上Lagrange三次元有限体积法，从理论分析和数值试验两方面验证了格式的有效性；对于Lagrange二次元有限体积法，定义两个参数控制对偶单元形状，找到了一组恰当的参数值，利用这组参数值建立对偶网格，相应的有限体积元格式具有最佳的L^2模收敛阶，并且在三角形单元顶点和边中点处数值解的函数值具有超收敛性。第三，将求解椭圆型方程有限体积元法的构造思想推广到抛物方程，证明了半离散及全离散线性元有限体积法的L^2估计及超收敛性，建立了矩形网上双二次有限体积元法并给出了收敛性及超收敛性的理论分析。第四，我们还研究了二阶双曲型方程的有限体积元法，选取矩形单元内部的二阶Gauss点最为对偶单元的节点，建立了最佳的有限体积格式并证明了该格式具有最佳的L^2收敛阶及数值梯度的超收敛性。此外，我们还研究了有限体积元法的多水平预处理以及有限体积元法在Stokes方程中的应用。