高阶元有限体积法的稳定性和超收敛性研究

A great many research results have been obtained for the finite volume element method. But no work is done on the superconvergence analysis for high-order finite volume element methods on triangulation and the frame for distinguishing the stabilities for finite volume element methods on quadrilateral mesh. Based on the model of second order elliptic equations, this project will study the superconvergence for high-order finite volume element methods on triangulation as well as the criterion for determining the stabilities for finite volume element methods on quadrilateral mesh. Firstly, we are concerned with the superconvergence for the Lagrangian 2-order and 3-order finite volume element methods and Hermitian 3-order finite volume methods on triangulation. The proofs on the superconvergence for function and derivative values of these schemes will be given. Secondly, we consider the frame or criterion for judging the stabilities (positive definiteness or elliptic for the bilinear form) of the quadrilateral finite volume method. The mesh geometry condition as weak as possible will be presented (sufficient and necessary condition is the best). For this purpose, a unified form for the element stiffness matrices of the finite volume methods must be provided. Furthermore, the conditions on quadrilateral elements for preserving the uniformly local ellipticity of the bilinear form will be discussed systematically.

有限体积法的研究已经取得了十分丰富的研究成果，但是对于三角形网格上高阶元有限体积法的超收敛性分析，以及四边形网格上有限体积法稳定性的一致判别框架还没有解决。 本项目以二阶椭圆型方程为模型，研究三角形网格上高阶元有限体积法的超收敛性和四边形网格上有限体积法稳定性的一致判别准则。首先，我们研究三角形网格上Lagrange二次元、三次元，及Hermite三次元有限体积法的超收敛性，对以上有限体积格式解的相应的函数值或导数值的超收敛性给出理论证明；然后，建立四边形网格上的有限体积法稳定性（双线性形式正定性或椭圆性）判别的一致框架和准则，给出尽可能弱的（最好是充分必要的）网格几何条件。为此，需要给出有限体积法单元刚度矩阵的统一表达形式，进而系统地讨论为保持双线性形式的一致局部椭圆性所需要的对四边形单元的限制条件。

本项目主要以椭圆形方程为模型，研究了有限体积法相关的某些数值分析问题。另外，我们还研究了Hamilton-Jacobi方程及辐射三温能量方程组的有限体积法。第一，以椭圆形方程为模型，给出了三角形网格上Lagrange型任意k次元有限体积法的L2误差估计的一致框架。我们首次提出了一组正交条件，该正交条件是保证最佳L2收敛阶的充分条件。另外，针对Lagrange型二次元有限体积法，选取正交条件所决定的最佳对偶剖分，我们证明了有限体积法解u_h与精确解u到试探空间的插值u_I的按H^1模与L^2模超收敛性。第二，以椭圆形方程为模型，我们构造并证明了一般四边形网格上等参双三次元有限体积法的稳定性及H^1误差估计。此外，我们还研究了非匹配矩形网格上自适应双线性元有限体积法的后验误差估计。第三，以椭圆形方程为模型，我们研究了非匹配三角形网格上的混合有限体积法，并证明了近似速度函数和近似压力函数均具有最佳的L^2模收敛阶。第四，以具有弱Dirichlet边界条件的Hamilton-Jacobi方程为模型，我们构造了一类新的单调有限体积格式，证明了它的收敛阶是1/2阶。第五，我们研究了辐射三温能量方程组的有限体积法，空间离散使用三角形网上线性元，时间方向使用向后Euler格式，并与自适应技术结合，有效地模拟了该方程组。