赋序Banach空间上的序性质及其应用

John Nash won the 1994 Nobel Prize in Economics for his pioneering　Nash equilibrium theory. The utility functions involved in the classical equilibrium problems are real functions, and the values of the utility functions of the participants in many economic, military and environmental problems are in ordered Banach spaces. Therefore, to solve their equilibrium problems must be considered in ordered Banach spaces. In addition, considering the existence of some specific ordering structures in some solutions of partial differential equations, we expect that the existence of solutions of some nonlinear partial differential equations can be solved by using the order properties in ordered Banach spaces. For the above two reasons, this project will carry on the thorough research on the order property and the correlation state in the ordered Banach space, and construct the FKKM theorem, the Ekeland variational principle, the Leray-Schauder continuous theorem and some fixed point theorems, and solve some of the order equilibrium problems and some partial differential equation solvability. This project is mainly to apply the new technique based on the order property of ordered Banach space and the order property of the mapping. The research results will enrich the Banach space theory and solve the existence of solutions of some partial differential equations.

John Nash由于开创Nash均衡理论而获得1994年度诺贝尔经济学奖。经典均衡问题所涉及的效益函数都是实函数，而许多经济、军事、环境等问题中参与者的效益函数值域取值于赋序Banach空间。因此，要解决其均衡问题就必须在赋序Banach空间中考虑。另外，考虑到某些偏微分方程解空间存在着特定序结构，我们预期可以利用赋序Banach空间上序性质解决某些非线性偏微分方程解的存在性。基于以上两个原因，本项目将对赋序Banach空间上序性质及相关性态进行深入研究，拟在赋序Banach空间上建立FKKM 定理、Ekeland 变分原理、Leray-Schauder 连续定理和一些不动点定理。以此作为工具，解决一些赋序均衡问题和某些偏微分方程的可解性。本项目主要是应用基于赋序Banach空间上序结构和映射序性质的新技巧，其研究成果将丰富Banach空间理论，而且解决某些偏微分方程解的存在性。

在半序Banach空间上，研究了投影算子的序单调性、映射的δ-连续性和δ-紧性等性质，以及序的正规性、正则性、全正则性、链完备性、双链完备性、归纳性等之间的关联关系，给出了它们的特征。利用这些性质和特征，证明了链完备偏序集上集值映射的不动点定理、锥体上序递减映射的不动点定理等一些不动点定理。研究了赋序向量拓扑空间中幂集上的三种序关系，建立了该空间上的序簇不动点定理。利用这些不动点定理，证明了保序锥上某些算子最佳逼近的存在性、分裂变分不等式问题解和序极大解的存在性，建立了单值映射序列的无限非线性分裂变分不等式问题解的存在性定理等。.得到了对偶博弈中分裂和重复博弈中无限分裂的Nash均衡点存在性。接着，得到了价格竞争重复扩展的半序Bertrant双寡头垄断模型的无限分裂Nash均衡点一些新的性质。借助于Hausdorff拓扑向量空间上的Fan-KKM定理，证明了该空间上赋序均衡问题和某些非线性分裂赋序均衡问题的可解性。另外，应用Fan-KKM定理，证明了广义最优整体可行的财政预算政策存在性和广义社会效用Pareto最大化问题的可解性，以及一些自然收益受限的最优税收问题解的存在性。这是首次运用Fan-KKM定理去解决经济理论中的优化问题。.利用序关系，证明了被积函数不具备任何连续性条件的非线性Hammerstein积分方程解的存在性。对于带散射变系数耗散项的半线性波动方程，当依赖于时间变量的耗散项系数的衰减速率大于1且非线性项仅依赖于解关于时间的一阶导数时，证明了当非线性项指标比较小时解将会在有限时间内破裂。当该系数的衰减速率等于1时，证明了解的破裂指标和生命跨度上界估计不仅与空间维数有关，而且与耗散项的系数常数有关。当该系数的衰减速率大于1且非线性项同时包含解和解关于时间的一阶导数时，证明了当非线性指数p和q满足一定关系时，解将会在有限时间内破裂。.得到了双截断局部化Szasz-Mirakjan算子和Baskakov算子序列的一些收敛性。精确地给出了Szasz-Mirakjan算子线性组合逼近的上下界估计，在一定的条件下涵盖了其一致逼近的正定理、逆定理和饱和性定理。