空间分数阶质量守恒型Allen-Cahn方程的高效数值算法研究

Mass conserving Allen-Cahn equation with space fractional derivatives is a basic model for phase transitions and interfacial dynamics in materials science. However, because of the influence of the fractional operator and the nonlocal conserving term, the effective methods for solving classical integer order problems are not valid any more. In this project, we focus on devising the efficient algorithm for the mass conserving Allen-Cahn equation with space fractional derivatives. Firstly, based on operator splitting method, the original problem is divided into three simple sub-equations, then spectral method and analytical method and high order compact difference scheme are used to solve them, respectively. Meanwhile, the energy degradation and the mass conservation of the proposed method will be proved rigorously by the energy method. The research results in this project are essential to expanding understanding the essence of anomalous diffusion process, and will provide the new methods and procedures to develop the nonlinear scientific research and complex dynamic behaviors research.

空间分数阶守恒型Allen-Cahn方程是材料学中研究相变理论和界面动力学的基本模型。但由于分数阶导算子及非局部守恒项的影响，使得许多求解经典整数阶Allen-Cahn方程行之有效的数值方法在解决此类问题时遇到了严重困难。本项目针对空间分数阶守恒型Allen-Cahn方程，研究其数值逼近中的高性能数值算法。首先利用算子分裂将原问题分裂为三个简单子问题，然后分别采用谱方法、解析法、高阶紧致差分方法建立每个子问题的离散格式。并运用能量方法严格分析算法的能量不增和质量守恒性。然后构造合理有效的自适应估计子，对时间步长进行自适应处理。该项目的研究成果将加深对反常扩散过程本质的理解，并为非线性科学的研究和发展及复杂动力学行为的研究提供新途径。

相场模型是材料学中研究相变理论和界面动力学的基本模型。然而随着科学技术水平的不断提高以及对问题研究的不断深入，人们发现经典整数阶模型已经不能很好的满足实际应用需要。近年来分数阶微分方程引起了人们的注意，由于其特有的历史记忆性和全局相关性，在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料时，可以更简单、合理的描述这些自然科学以及工程领域的非经典现象。本项目以空间分数阶守恒型Allen- Cahn方程为重点研究对象，研究其数值逼近中的高性能数值算法，并与整数阶数值结果作比较。最后进一步将此方法推广到Cahn-Hilliard 方程。. 由于分数阶导算子及非局部守恒项的影响，使得许多求解经典整数阶Allen-Cahn方程行之有效的数值方法在解决此类问题时遇到了严重困难。本项目采用算子分裂思想，将原问题分裂为三个简单子问题，然后分别采用谱方法、解析法、高阶紧致差分方法建立每个子问题的离散格式。并运用能量方法严格分析算法的能量不增和质量守恒性。该项目的研究成果将加深对反常扩散过程本质的理解，并为非线性科学的研究和发展及复杂动力学行为的研究提供新途径。. 本项目已经取得了部分研究成果：.（1）对于分数阶守恒型Allen-Cahn方程，我们已经设计出有效的算子分裂方法，并给出了相应的收敛性和稳定性分析，数值试验表明所给格式与理论分析完全吻合。而对于算法所满足的质量守恒性和能量递减，理论分析具有一定难度，还处于推导阶段。.（2）我们进一步研究了空间分数阶Cahn-Hilliard方程，提出了质量守恒、能量递减的高精度格式。相应成果已发表在国际期刊《Applied Mathematical Modelling》。