套代数框架下的时变线性系统的稳定性理论研究

The stability theory of time-varying linear systems in the frame work of nest algebra is an important application of the operator theory and operator algebra to the system control theory, which is tightly connected with many branches of functional analysis, such as the unbounded operator theory, operator theory on the function space and nest algebra theory, and broadly applied in technology and engineering, so it has theoretic significance and great applicational value. Within the frame work of nest algebra, the stability analysis of time-varying linear systems is mainly based on the strong representation approach and gap metric approach, which are the trivial extentions of the traditional tools (coprime factorization and gap metric) used in the time invariant case. These methods maybe cause some properties of time-varying systems being hided. In this project, we will mainly study the followings: 1. Combining the matrix theory, operator theory and operator algebra techniques, we will systematically analyze the stabilizability, the transitivity in simultaneous stabilization, and robust stabilization of time-varying systems by using the representation, factorization, quadratic constraints and time-varying gap. 2. We will study the stable rank of several operator algebras between the algebra of bounded analytic functions on the open disk and the nest algebra which has only one rank atoms, and find the influence on the stability analysis by the properties of the operator algebra.

套代数框架下时变线性系统的稳定性理论是算子理论和算子代数在控制理论中的重要应用，与无界算子论、函数空间上的算子论、套代数理论等泛函分析分支联系密切，在信号处理、电子信息等科技、工程领域有广泛应用，因此研究该理论具有重要的理论意义和应用价值。 目前，套代数框架下的稳定性理论研究主要是基于强表示和gap 度量，由于这两个工具是时不变线性系统理论的传统研究工具(素分解和 gap 度量)的推广，这样的研究方法会掩盖时变线性系统的特质。本项目中，我们将使用能够反映时变特性的工具探索稳定性理论，主要研究两方面内容: 1.利用表示、分解、二次约束和时变 gap，结合矩阵理论、算子理论和算子代数，系统地分析时变系统的镇定性、同时稳定的传递性和鲁棒稳定性；2.计算介于单位圆盘上的有界解析函数组成的代数和只有一秩原子的离散套代数之间的几个算子代数的稳定秩，以此分析算子代数的结构影响稳定性理论的本质原因。

套代数框架下时变线性系统的稳定性理论是算子理论和非自伴算子代数在控制理论中的重要应用，与无界算子论、函数空间上的算子论、套代数理论等泛函分析分支联系密切，在信号处理、电子信息等科技、工程领域有广泛应用，因此研究该理论具有重要的理论意义和应用价值。 目前，套代数框架下的稳定性理论研究主要是基于强表示和gap 度量，由于这两个工具是时不变线性系统理论的传统研究工具(素分解和 gap 度量)的推广，这样的研究方法会掩盖时变线性系统的特质。本项目中，我们使用能够反映时变特性的工具探索稳定性理论，结合矩阵理论、算子理论和算子代数，构造了时变线性系统的镇定性判据；在传递性条件下给出多个系统的同时稳定性充要条件；研究了J-谱分解条件下次优模型匹配问题。具体得到了以下重要结果：.1、针对稠定义的单边下三角型算子，应用二次约束给出基于系统图和控制器逆图的闭环稳定性判据，使得二次约束稳定性判据被修正的更易验证；.2、针对公开问题： 三个线性系统的同时稳定性，从系统的同时稳定性的传递性角度出发，给出了三个线性系统同时稳定性传递性成立的充分必要条件；进一步给出给出n个线性系统的同时稳定性判据设计，这不仅是将三个系统的同时稳定性判据推广到 n个，而且所得到的稳定性判据仅仅依赖于一个系统和一个控制器的素分解；.3、在套代数框架下建立了应用分解和表示解决稳定性问题的研究框架，证明无界下三角算子必有标准左分解，标准左分解必是左表示，反之不然。并给出基于分解和表示的时变线性系统的镇定性判据，将原本依赖于双面素分解的镇定判据弱化为了仅依赖于单面分解的判据；.4、借助 Douglas 值域定理证明了耦合 J-谱分解条件下次优模型匹配问题的解的存在性，并给出次优解的参数化定理。.5、给出了时变 gap 度量和 gap 度量在研究时变线性系统的稳定性问题和鲁棒稳定性问题上的等价性。.科学意义：在套代数框架下建立了应用分解、表示和二次约束研究时变线性系统稳定性问题的新领域。