基于套代数理论的一类线性系统的稳定性研究

Nest algebra is a class of important non-self adjoint operator algebra. How to apply the nest algebra theory and its research method to some engineering field is an active subject. On one hand, it will promote the development of engineering disciplines; on the other hand, it will provide some new research content in nest algebra theory. The stability theory of causal linear systems on the Hilbert resolution space is the important application of operator theory and nest algebra theory in the control theory. In this project, by analyzing the factorization of causal systems, the stable rank of stable causal system algebras and the topology of the causal system algebra, to study some stability problems of bilateral discrete causal linear systems in the frame work of nest algebra. The research includes: 1. Applying the complete finiteness, outer spectral factorization of the invertible positive operator, inner-outer factorization and some properties of the nest algebra, where the nest is of ordinal type with finite dimensional atoms, and the operator properties of lower-triangular type operator to find the existence and construction of factorizations for causal linear systems; 2. Computing the Bass stable rank and topology stable rank for some sub-algebras of the standard nest algebra, e.g., the uniformly asymptotic Toeplitz operator algebra, strongly asymptotic Toeplitz operator algebra and the non-commutative disk algebra; and study the strong stability and robust stability of some special causal linear systems corresponding with these non-self adjoint; 3. Construct the weakest topology preserving the robust stability, and also deal with the transitivity of robust stability.

套代数是一类重要的非自伴算子代数，如何将套代数的理论和研究方法应用于某些工程领域，既推动工程学科的发展，又为套代数自身研究找到新的内容是一个重要课题。Hilbert分解空间上因果线性系统的稳定性研究就是算子理论和套代数理论在控制理论中的重要应用。本项目基于套代数理论，通过分析系统的分解、稳定系统代数的稳定秩以及因果系统代数上的拓扑结构，来研究Hilbert分解空间上的双边离散因果线性系统的稳定性。具体包括：1.借助原子维数有限的W序型套代数的性质和下三角型算子的性质，刻划系统分解的存在性及构造方法；2.通过计算套代数的几个子代数的Bass稳定秩和拓扑稳定秩，比如一致、强渐近解析Toeplitz算子代数和非交换圆盘代数，来研究系统的强稳定性和鲁棒稳定性；3.描述因果系统代数上保持鲁棒稳定性的最弱拓扑，探索鲁棒稳定性的传递性。

套代数是一类重要的非自伴算子代数，如何将套代数的理论和研究方法应用于某些工程领域，既推动工程学科的发展，又为套代数自身研究找到新的内容是一个重要课题。Hilbert分解空间上因果线性系统的稳定性研究就是算子理论和套代数理论在控制理论中的重要应用。本项目基于套代数理论，通过分析系统的分解、稳定系统代数的稳定秩以及因果系统代数上的拓扑结构，完成Hilbert分解空间上的双边离散因果线性系统的稳定性研究。具体包括：1、定义适用于双边信号空间上研究双边因果线性系统稳定性的素表示，基于此工具刻画了系统的闭环稳定性、镇定性、同时稳定性和强稳定性；2、证明TV-gap度量与广义v-gap诱导的拓扑是等价的。结合积分二次约束，刻画了双算子同时摄动于TV-gap度量定义的连通集的闭环稳定性。解决了积分二次约束（自1997年用于研究不稳定系统的闭环稳定性以来）无法刻画双算子同时摄动的闭环稳定性的问题。3、应用算子的谱理论,不变子空间研究了l^∞框架下无穷维系统的集结问题,给出了保证无穷维系统集结的充分条件和有限维系统集结的充分必要条件。研究了l^p上由单边矩阵Laurent算子确定的自治系统的渐近行为,利用遍历论结果给出了解收敛的充要条件并计算了收敛率：在不同状态空间中分别研究了自治系统的渐近行为并计算收敛速率。