广义结构矩阵低秩逼近及其在投资组合中的应用

The low rank approximation of structured matrix is an important mehod of data compression in recent years. It is widely applied in many areas of science and engineering, such as image processing, the finance and risk management, machine learning, etc. According to the practical problem in finance, the project aims to construct the theories and algorithms of the generalized low rank approximation of several types of structured matrices, which is to provide a tool for processing the complex and large-scale date. The research contents are as follows. Firstly, we investigate the generalized low rank approximations of several types of structured matrices. By applying the methods, such as the matrix optimization over mainfold, Krylov subspace, alternative direction, etc, we represent the stuctured matrices, give the solvable sets, and present the fast and stable numerical algorithems. Secondly, we study the generalized low rank approximation of stuctured matrices, which is constrained by matrix equation. By the techniques and methods , such as block matrix, matrix decomposition, and conjugate gradient, we give the effective iterative algorithms. Finally, we show the applications of the generalized low rank approximation of the correlation matrices in the asset portfolio. So the project will improve the applications of low rank approximations in finance, and enrich the theory of the matrix approxiation.

结构矩阵低秩逼近是近年来对数据进行压缩的一个重要方法，它在图像处理、金融风险管理、机器学习等领域中有重要的应用。本项目针对金融中的实际问题，旨在建立几类广义结构矩阵的低秩逼近理论和算法，为一些大规模复杂数据处理提供一种新的有效工具。具体研究内容为：（一）研究几类广义的结构矩阵的低秩逼近问题，利用流形上的矩阵优化、Krylov子空间、交错方向等方法刻画低秩结构矩阵类，建立新的可解性理论，并设计快速稳定的数值算法；（二）研究基于矩阵方程的广义的结构矩阵低秩逼近问题，利用矩阵的分块、矩阵分解、共轭梯度等技巧和方法，构造有效的迭代算法；（三）给出广义的相关矩阵的低秩逼近理论算法在投资组合中的应用。本项目的实施不仅大大推进低秩逼近在金融中的应用，而且对矩阵逼近理论本身的研究也具有重要的理论价值。

本项目研究广义结构矩阵低秩逼近及其在投资组合中的应用。在项目经费的支持下，我们开展了一系列研究工作，基本完成了项目申请书中的内容，主要研究成果分为六个方面。一是运用矩阵分解技术解决了受约束的Hermitian半正定矩阵的低秩逼近问题，和利用非线性共轭梯度法给出了实对称矩阵半正定矩阵的广义低秩逼近问题，分别给出它们的解和稳定数值算法，丰富了矩阵低秩逼近理论；二是研究了非线性系统Yang-Baxter-like矩阵方程的可交换解，系统地解决了该方程的所有可交换解问题；同时也研究了当系数矩阵具有两个不同特征值的可对角化矩阵时，给出了该方程的所有非交换解；研究结果不仅丰富了矩阵方程理论，而且对金融统计、量子物理等领域有一定的指导作用；三是对随机张量的多面体性质进行了研究，进一步丰富了张量空间。四是利用交错投影算法，给出了对称半正定张量补全问题的迭代解；五是在等式约束最小二乘法的基础上，提出了单输入单输出大规模动力系统模型的投影方法，对于模型降阶提供了新算法；利用偏差修正的最小二乘参数估计法，研究了带有测量误差的部分线性可加模型的估计和变量选择问题。六是初步探讨了趋势顶底技术在股票投资中的应用，趋势顶底技术可以满足普通投资者在趋势低点买入、趋势高点卖出的需求。