结构矩阵的低秩逼近及其应用

Many numerical linear algebra problems come from interest rate derivatives pricing models and factor models of asset returns, and these problems involve matrix approximation with low rank and special structures. In this project, we will investigate the structured low-rank approximation with applications. At first, we will propose some new methods to deal with "low-rank of correlation matrix" based on the features of correlation matrix, and we will use the tricks of matrix decomposition, block matrix and sequential linear equations to seek some new algorithms and study its convergence. Secondly, we will apply the tricks of the simultaneous matrix decompositions, nuclear norm and majorization function to deal with the low-rank of reduced rank regression model and reduced rank growth curve model, and propose some new algorithms and study its statistical test. Through the project, not only can we make some contributions to the low-rank matrix approximation in numerical mathematics, but also provide theoretical guide for practical aspects in finance.

利率衍生品定价和资产收益的因子模型给数值代数提出了许多亟待解决的问题，这些问题都与具有某种结构的秩约束矩阵逼近问题有关。本项目研究结构矩阵的低秩逼近及其应用。针对相关矩阵的低秩逼近及其推广，我们将根据结构相关矩阵的特点，提出新的处理"秩约束"的手段和方法，使用矩阵分解、矩阵分块等数值代数预处理技术和序列线性方程组等非线性优化方法研究该问题的收敛性，寻求速度快、且计算稳定的新算法；对于降秩的多元回归模型和增长曲线模型，我们将使用联合矩阵分解、核范数、优化函数等方法处理秩约束，继而研究模型的快速计算和统计检验问题。本项目不仅对矩阵低秩逼近等计算数学的理论和方法有所贡献，而且对金融市场也具有重要的实际应用价值。

本项目研究结构矩阵的低秩逼近及其应用。我们基本完成了项目申请书中几类结构矩阵的低秩逼近的理论和算法，并在金融应用领域获得了系列成果。在项目经费的支持下，我们开展了一系列创新性的工作,主要研究成果分为五个方面: 一是使用Hermitian型广义奇异值分解和保范扩张定理解决了F范数和谱范数下具有对称结构的矩阵低秩逼近问题，刻画了该问题的极小秩Hermitian解的结构。二是提出了一个基于积极约束技术的滤子方法求解球约束的优化问题，该算法具有全局收敛性并在宽泛的条件下具有超线性收敛的性质，作为该算法的直接应用，我们计算出了2010年Borsdorf、Higham 和Raydan 提出的带有因子结构的相关矩阵逼近问题的局部最优解。三是针对降秩的多元回归模型，我们使用优化函数算法给出了该问题的解，证明了该算法的全局收敛性，数值实验证实了该算法的有效性。四是使用矩阵降维技术研究了正态分布、学生t分布假设下向量自回归VAR模型的统计诊断问题，我们得到了极大似然估计下不同扰动的正规曲率，使用曲率诊断获得了这两类模型异常点检测的完整算法，并使用金融时间序列数据进行了实证分析。五是研究了分数维利率模型下信用衍生品的定价问题，给出了几类信用衍生品的定价公式，并使用金融数据进行了实证。. 本项目共发表学术论文16篇，其中SCI收录论文13篇，培养应用数学、概率统计、数量经济等领域的硕士研究生12人。