广义低秩矩阵重构算法及其应用研究

Low-rank matrix reconstruction as the generalization of compressed sensing theory in the case of a matrix has become a new kind of high-dimensional information processing tool. It is one hot issue of present study. However, the conventional low-rank matrix reconstruction theory is mainly process the problem of single matrix’s low-rank approximation. It often needs to convert the problem and construct an approximate low-rank matrix in practical applications, which is inconvenient to the application of the theory. The generalized low-rank approximations of matrices as the improved model have achieved the low-rank approximation for a collection of matrices, but it is not robust for sparse big noise. Thus, this project is intended to carry out a comprehensive study of the theory and application of generalized low-rank reconstructions of matrices. It mainly concludes as follows. Firstly, construct the model of robust generalized low-rank recoveries of matrices and design a stable algorithm. Secondly, construct the model of robust generalized low-rank completions of matrices and design a good performance algorithm. Finally, research recovering method of similar set of images or video sequences based on the model of generalized low-rank reconstructions of matrices. It not only provides new idea for development of low-rank reconstructions of matrices theory, but also promotes its practical application in image processing by the completion of this project.

低秩矩阵重构作为压缩感知理论在矩阵情形下的推广，已经成为一种新的高维信息处理工具，是目前研究的热点之一。然而，传统的低秩矩阵重构模型主要处理单个矩阵的低秩近似问题，在实际应用中往往需要将问题进行转换，并构造出单个近似低秩的矩阵，这给该理论的应用带来不便。广义低秩矩阵恢复模型对其进行改进，实现了多矩阵的直接低秩近似，但已有的模型对稀疏大噪声等鲁棒性不好。为此，本项目拟以多矩阵的批量低秩近似为目标，综合开展广义低秩矩阵重构理论及应用研究，主要内容包括：(1)构建鲁棒广义低秩矩阵恢复模型，设计性能稳定的恢复算法；(2)建立广义低秩矩阵填充模型，给出性能良好的填充算法；(3)探索基于广义低秩矩阵重构的相似图像集或视频序列恢复方法。通过本项目的完成，不仅为低秩矩阵重构理论的发展提供新的思路，而且有助于进一步推动该理论在图像处理中的实际应用。

近年来，低秩矩阵重构作为传统稀疏表示在矩阵低秩情形下的推广，已经成为一种新的高维数据分析工具，受到众多研究人员的关注。本项目结合当前低秩矩阵近似研究的热点问题，主要开展低秩矩阵重构算法及其在图像恢复中的应用、稀疏表示重构算法及其在图像/视频处理中的应用等研究，取得了一些较好的进展。.在低秩矩阵分解算法及其图像处理方面，首先，结合TV范数能够增强图像或矩阵局部区域光滑性的特点，提出了结构光滑加权低秩矩阵恢复模型。此外，为了求解该优化问题，提出了基于非精确拉格朗日乘子法的求解算法及权重更新算法。其次，受光滑秩函数低秩矩阵填充算法的启发，提出一种新的基于光滑且可微秩函数和L0范数的低秩矩阵分解方法。接着，针对传统的广义低秩矩阵近似方法仅聚焦在最小化重构误差上，而没有考虑近似矩阵秩的影响的问题。提出了一种新的面向图像恢复的多矩阵鲁棒广义低秩分解模型及其求解算法。最后，结合TV范数能够增强图像或矩阵局部区域光滑性的特点，提出了结构光滑多矩阵低秩分解模型，使得多矩阵恢复模型的性能进一步提升。.在低秩矩阵填充及其图像处理方面，就现有的低秩矩阵填充算法耗时长等问题，结合矩阵三因子分解，提出一种基于光滑秩函数的快速矩阵填充算法。该算法运用矩阵三因子近似分解去代替原始矩阵，并运用投影梯度法实现矩阵填充问题的求解。在图像处理应用方面。利用低秩矩阵的特性，将其应用于扫描文档的纠偏，提出了基于低秩矩阵分解的扫描文档图像的纠偏方法。.在稀疏表示重构算法及其在图像处理方面，针对传统压缩感知重建算法存在重建质量偏低、重建时间偏长等问题。首先，结合广义低秩矩阵的特性，提出基于广义低秩矩阵分解的分离字典训练及其快速重建算法。其次，充分利用矩阵流行的特性，提出了基于矩阵流行的快速分离字典构造的分块压缩感知重构算法。不仅如此，一方面，提出将分离字典的优化与稀疏系数矩阵分别进行更新的算法，该算法不仅保证了稀疏表示的准确率，同时还降低了稀疏表示的计算复杂度。另一方面，提出了一种基于特征融合和稀疏表示的可分离字典图像检索方法。