矩阵方程秩约束广义最佳逼近理论及应用

Some generalized best approximations problems to matrix equations under rank restrictions have been distilled from CTLS problem and Gaussian regression mode, etc. We will discuss the following problem，||f(X)||=min, rank(g(X))=k，etc.,in F-norm. First, we make the rank restrictions into a number of independent constraints by applying suitable matrix decomposition to rank(g(X))=k. Based on those results, We make the best approximations problem into some classical best approximations problems by applying matrix decomposition which associated with the above decomposition and norm-preserving. At last, we discuss the range of k and the expressing of the solution to the problem. We will discuss some generalized best approximations problems to matrix equations under 2-norm. The minimal rank problem of solutions to some matrix equations and their applications will be considered. We will establish a new partial ordering which is not a special minus ordering and will give some characterization of matrix partial ordering.

在F-范数下研究由四分块矩阵的CTLS问题、高斯回归模型等引出的秩约束矩阵方程广义最佳逼近问题，||f(X)||=min, rank(g(X))=k等：首先选择或建立合适的矩阵分解对秩约束条件rank(g(X))=k进行简化使秩约束条件转化为若干个独立的约束条件，在此基础上利用相关的保持范数的矩阵分解简化f(X)使之转化为若干经典最佳逼近问题，最后给出k的取值范围、最小范数以及最小范数解的表达式并用之解决相关问题；在谱范数下研究矩阵方程广义最佳逼近问题，给出约束条件秩的取值范围以及解的表达式；研究若干特殊矩阵方程解的极小秩问题及其在判定相应方程是否相容等问题中的应用；研究矩阵偏序的刻画，应用约束矩阵方程给出一类不是特殊减序的偏序等。

秩约束矩阵方程最小二乘问题在分块矩阵的CTLS问题、高斯回归模型、机器学习等问题中有着重要的理论价值。本项目主要研究F-范数下秩约束矩阵方程的最小二乘问题；得到方程最小二乘解存在的k的取值范围、在约束秩等于k的条件下AXB-C最小范数、以及部分解的表示；并进一步研究F-范数下秩等于k时Hermitian对称、Hermitian反对称约束条件下AXA^H-B的最小二乘问题等。秩约束矩阵方程的最小二乘研究为部分特殊的实际问题提供解决方案；为解决对称秩约束问题建立的理论是以后处理类似秩约束问题的理论基础。相关结论发表在《Applied Mathematics Letters》和《Journal of Computational & Applied Mathematics》。.约束矩阵方程解的极小秩问题在鞍点问题、矩阵方程问题以及控制论若干问题中有着广泛应用。本项目研究约束条件下矩阵表示极小秩问题等；得到矩阵表示A-BXC在X为Hermitian对称矩阵时秩极小值的显示表达式，并应用结论推导出若干矩阵方程特殊解存在的条件等；应用矩阵子式给出2×2分块可逆矩阵新的刻画等。Hermitian对称矩阵约束下矩阵表示极小秩结论推广了矩阵方程有对称解的经典结论；应用初等方法给出的分块矩阵可逆的刻画为相关鞍点问题提供新的方案；相关成果发表在《Applied Mathematics & Computation》和《Journal of the Franklin Institute》。.矩阵偏序理论在统计模型中有着重要的价值。本项目研究矩阵广义逆及其引出的矩阵偏序、研究矩阵分解以及非减序类偏等。利用方程组给出Core逆新的刻画；建立矩阵的Core-EP分解；引入一类新的偏序：CL偏序；应用矩阵core-nilpotent 分解引出的偏序等。矩阵分解为深入研究矩阵提供新的工具，偏序的构造为研究偏序提供新的方案。相关结果发表在《Linear & Multilinear Algebra》和《Linear Algebra and its Applications》等杂志。