带资本利得税的连续时间最优投资消费问题

It turns out that transaction costs dramatically alter the investor's strategy. Because the capital gain tax rate is much higher than the rate of transaction costs, it is anticipated that capital gain taxes must significantly affect the investor's strategy as well. However, in contrast to extensive literature on the continuous-time investment and consumption problem with transaction costs, little research exists on the problem with capital gain taxes. This is because the calculation of capital gain taxes leads to strong path-dependence and has to get a.path-dependent variable involved, which not only increases the problem dimension but also incurs singularities. This project aims to employ stochastic control, PDE, numerical PDE, and asymptotic analysis to study the continuous-time investment and consumption problem with capital gain taxes. Mathematically this is a singular stochastic control problem whose associated HJB equation is a variational inequality equation with gradient constraint and gives rises two free boundaries that correspond to the optimal trading strategy. We will use the PDE approach to establish the linkage between the value function and the HJB equation, design efficient numerical method, and study the optimal strategy in terms of numerical results, qualitative analysis of free boundaries, and asymptotic analysis. We expect the qualitative and quantitative results would enhance the capital gain tax code in China. Moreover, this challenging problem will promote.the study of stochastic control, partial differential equations, and numerical methods.

交易费对投资策略有很大的影响，由于资本利得税率远高于交易费率，可以预料其对投资消费策略有更大的影响。对应于交易费问题广泛与深入的研究，带资本利得税的投资消费问题的研究相对较少。其原因在于资本利得税的计算导致很强的路径依赖，必须引入路径依赖变量，这不仅增加了问题的维数，也引发了问题的奇性。本项目旨在利用随机控制、偏微分方程及其数值方法、渐进分析等工具来研究带资本利得税的投资消费问题。这在数学上属于奇异随机控制问题，导出的HJB方程是带梯度约束的变分不等式，相应的自由边界对应最优交易策略。我们将用偏微分方程方法建立随机控制问题的值函数与HJB方程的联系，设计有效的数值方法并研究算法的收敛性，通过数值结果、自由边界的定性分析及渐近展开来研究交易策略。得到的定量和定性结果将有助于我国资本利得税法的制定与完善，同时这个数学上极具挑战性的问题也将促进随机控制、偏微分方程及数值算法的研究。

带资本利得税率的投资消费问题在数学上属于奇异随机控制问题，导出的HJB方程是带梯度约束的变分不等式，相应的自由边界对应最优交易策略。本项目利用随机控制、偏微分方程及其数值方法、渐进分析等工具对这个问题进行了深入的研究，得到的主要结果如下：1. 课题负责人与合作者考虑了在Bull-bear regime switching market且采用Epstein-Zin递归效用情形下带资本利得税的投资组合问题，给出了这一问题的渐近分析，并讨论了近似解析解的经济含义。该结果是这一方向的突破，有助于我们深入理解资本利得税对投资行为的影响。文章在管理学科顶级期刊Management Science发表。2. 课题负责人与课题参与人边保军教授以及合作者一道解决了Ben Tahar, Soner, and Touzi 给出的带资本利得税的投资组合模型里的关键理论问题。我们严格证明了a）值函数对应HJB方程的最小粘性解；b）尽管HJB方程的粘性解不唯一，但HJB方程的惩罚逼近方程存在唯一粘性解，并且这个粘性解收敛到原问题的值函数（也就是原HJB方程的最小粘性解），而且我们可以用惩罚方法数值求解惩罚逼近方程来得到原问题的逼近最优策略。该文章目前在评审中。3. 此外，我们研究了一些相关金融问题，包括一种基于对数收益率的均值方差准则的动态投资组合模型、利用大众信息来预测市场、流动性对基金经理投资行为的影响、银行资产不透明对资本机构的影响、不完全信息与流动性溢价等。相关研究工作在管理学科顶级期刊Management Science, 金融一流期刊Journal of Financial and Quantitative Analysis、计量顶级期刊Journal of Econometrics等接受或发表。