时滞耦合系统分支临界值附近的动力学行为

Time-delay coupled systems widely present in many scientific fields and have valuable significance. The existences of delay and coupling make the system to be complex, so the system can generate more rich and complex dynamic behavior. The bifurcation theory of functional differential equations is utilized to research the dynamics of time-delay coupled systems in the current project. Specifically, the bifurcations of coupled systems are discussed taking the delay and coupling as the parameters. The bifurcations contain codimension-1 fixed point and Hopf, codimension-2 double Hopf, Bogdanov-Takens and Hopf-zero, other bifurcations with codimension more than 2 and so on. The purpose of our project is to obtain the universal unfoldings of the bifurcations above, and give the complete bifurcation sets. Then, the complex dynamics caused by bifurcations can be analyzed, and the bifurcations of non-autonomous delay coupled systems are investigated on the basis of autonomous systems. Finally, numerical methods can show the novel dynamic phenomena in the bifurcation sets. The successful implementation of the project can not only improve the bifurcation theory of delay systems, but also can promote the practical application of time-delay coupled systems.

时滞耦合系统广泛存在于许多科学领域，具有重要的实际意义。时滞和耦合的存在增加了系统的复杂性，使得系统能够产生更为丰富、更为复杂的动力学行为。 本项目利用泛函微分方程的分支理论来讨论时滞耦合系统的动力学行为，主要以时滞和耦合关系等为参数考察耦合系统的分支行为，包括自治时滞耦合系统的余维1的不动点分支、Hopf分支，余维2的双Hopf分支、Bogdanov-Takens分支、Hopf-zero分支，以及一些余维大于2的分支，力求得到相应分支的普适开折，给出分支临界值附近完整的分支集，详细分析分支带来的复杂动力学行为，进一步在对自治系统的研究基础上，讨论非自治时滞耦合系统的分支行为。最后，利用分支集和数值方法将这些新奇的动力学现象展示出来。 本项目的成功实施不仅可以完善时滞系统的分支理论，而且可以推动时滞耦合系统的实际应用。

在国家自然科学基金（编号：11301263）资助下，项目组完成研究论文共计11篇，其中SCI3篇，EI1篇，国内核心期刊5篇，国外期刊5篇，另有4篇文章待发表，共参加相关学术会议四次，得到了与国际知名学者探讨和合作的机会，特别是建立了与美国匹兹堡大学G.Bard Ermentrout教授的长期合作。已完成论文主要研究了如下五方面的问题： (1)时滞引起的耦合系统余维-2分支。给出了Hopf、双Hopf分支、Hopf-zero分支的临界值和普适开折，得到了实际系统不同的振荡形式（如周期、拟周期、混沌）。这一结果发表在Applied Mathematics and Computation（SCI/EI收录）及天津师范大学学报（核心）。(2)静电驱动扭转微镜系统和具有年龄结构的时滞捕食-被捕食模型的Hopf分支。证明了分支的存在性和周期解的稳定性，从理论上充分的解释如何抑制实际装置的吸合现象和生物种群间的制约关系。这部分成果发表在Journal of Applied Mathematics（SCI收录）和British Journal of Mathematics & Computer Science。(3)时滞耦合混沌系统周期解的全局存在性。我们发现耦合会削弱系统的混沌现象，取而代之的是周期行为，甚至可以沿着时滞全局延拓。这一结果发表在American Journal of Computational Mathematics。(4)时滞反馈控制。通过设计合适的反馈增益和时滞，混沌振荡会转变为稳定的不动点或稳定的周期轨。这部分结果发表在宁夏大学学报（核心），东北师大学报（核心）和河南师范大学学报（核心）。 (5)耦合系统和网络的斑图动力学。讨论了一些系统的Turing-Hopf分支所产生的斑图行为，这部分工作仍处于待发表状态。针对两个平面上一般形式的弱耦合反应扩散方程，得到了Turing-Hopf分支导致的条纹、斑点、棋盘等斑图模式，并且发现当耦合是正（反）向时，斑图行为是同步（反相）的。另一项有趣的工作是通过分析一类加权网络模型的分支行为来解释不同贝壳花纹的形成。