具随机耦合强度和时滞的 Kuramoto 模型的分支分析

Kuramoto model plays an important role in the research of synchrony and has been widely applied to nonlinear sciences such as neuroscience and lasers. Introducing random parameters makes this model be greater realism. This project aims to give bifurcation analysis on Kuramoto model with random coupling strengths and delays in the thermodynamic limit. We mainly investigate the bifurcation behavior induced by the random coupling strengths, taking account to no delay, constant delay or random delays. By improving the Ott-Antonsen's low dimensional manifold reduction method based on the Fourier analysis, we restrict the Kuramoto model to a non-local functional differential equation, and study the stability of trivial solution standing for the incoherent state, then the conditions ensuring different kinds of bifurcations can be obtained. We investigate the properties of bifurcations by using the semi-group theory of operators, formal adjoint theory, center manifold reduction method and normal forms theory, and obtain the complete dynamics around the bifurcation points and the existence of periodic orbits, quasi-periodic orbits and homoclinic (heteroclinic) orbits. Finally, the existence of partially synchronized states, multiple stabilities, traveling wave and rotating wave in the Kuramoto model can be theoretically explained.

Kuramoto 模型在同步现象的研究中具有重要的理论意义，并在神经元、激光等非线性科学中有广泛的应用前景。考虑模型中随机参数的影响使得模型更加符合客观实际。本项目拟在热力学极限意义下对具随机耦合强度和随机时滞的 Kuramoto 模型进行分支分析。重点研究随机耦合强度的变化所引起的各类分支行为，同时分别考虑无时滞、具常值时滞和随机时滞的不同情形。发展基于 Fourier 分析的 Ott-Antonsen 低维流形约化方法，并将系统限制为非局部泛函微分方程，分析代表无序状态的平凡稳态解的稳定性，给出随参数变化各类分支的存在性条件，借助算子半群理论、形式伴随理论、中心流形约化方法和规范型理论对分支性质进行研究，给出分支点附近完整的动力学性质，得到约化方程中周期轨、拟周期轨和同（异）宿轨的存在性，进而对 Kuramoto 模型中部分同步状态、多稳定同步态共存、行波和旋转波的产生给予理论解释。

Kuramoto模型的分支和同步问题是非线性科学中的重要问题。为了更好地描述客观现实，模型引入了随机参数的影响。在热力学极限意义下，研究了具有随机耦合参数的Kuramoto模型的分支行为和同步现象。通过讨论OA流形上的约化方程的特征方程，得到了无序状态稳定和Hopf分支产生的条件，从而给出部分同步状态产生的条件，得到了Kuramoto模型发生同步转变的临界值。具体地，取得了如下结果：.1.以时滞为参数，得到了各种情况下平衡点稳定及Hopf分支存在的条件，发现系统在参数满足一定条件下存在稳定性开关。通过多尺度方法和规范型理论，得到了直接用于决定Hopf分支临界方向和周期解性质的关键量表达式以及系统发生同步转化所需的条件。研究中还进行了数值模拟支撑理论结果，用计算机仿真工具观察分支方向和分支周期解的稳定性，模拟结果与理论分析结果相吻合。.2.由于约化方程的形式为具时滞极限环振子模型，属于Stuart-Landau模型的形式，因此为了得到一般结果，研究了一类一般的具时滞Ginzburg-Landau系统的多参数分支研究，在双参数平面给出了系统的分支集。.3.结合学生培养及项目组成员的研究方向，进行了一般的具有时滞反应-扩散方程的双Hopf分支研究，得到了通用的分支规范型推导过程；此外还分别研究了时滞对两类肿瘤-免疫模型的分支行为影响以及几类具有时滞的捕食者-食饵模型的分支分析。