组合数学中的代数方法

In recent years, the study of combinatorics has experienced an impressive growth as a new mathematical discipline, and algebraic methods have played an important role in the development of modern combinatorics. The applications of various algebraic techniques in combinatorics have drawn attention of combinatorialists. In the just-finished combinatorial key project, we mainly focused on the constructive combinatorics, which forms the foundation of modern combinatorics. On this basis, we mainly study the algebraic methods for the concrete consturctions of combinatorial objects, which naturally arose in the theory of symmetric functions, the theory of integer partitions, extremal combinatorics, algebraic graph theory, chemical graph theory and combinatorial matrix theory. We shall explore the applications of algebraic theory to combinatorial problems, which include the combinatorial interpretation of the plethysm of symmetric functions, positivity problems on the specialization of Schur functions, Kerov polynomials of Jack characters, arithmetic properties of certain partition functions, the cardinality and structure of intersecting families of finite sets and of finite groups, extremal energies of weighted graphs, maximal energy graphs, skew energies of unicyle graphs and bipartite graphs, fully indecomposable matrices, nearly decomposable matrices. Our objective is to develop algebraic methods with our distinguishing features in relevant areas, and to make progress with important impacts in several subjects.

近年来，组合数学作为一个新兴数学分支发展十分迅速，而代数方法在现代组合数学理论的发展中则扮演着非常重要的角色并引起组合数学界的高度重视。在已经结束的上一期组合数学重点项目中我们主要研究构造性问题，这是现代组合数学的基础。在此基础上，本项目主要研究具体构造中的代数方法，内容包括对称函数理论、整数分拆理论、极值理论、代数图论、化学图论和组合矩阵论等，探索相关代数理论的应用。具体的，将研究对称函数复合运算的组合解释、Schur函数特殊化的正性问题、Jack函数的Kerov多项式、某些分拆函数的算术性质、集合族及有限群中交族的规模与结构、赋权图的极值能量、大能量图、定向单圈图和二分图的斜能量、组合矩阵的分解等。我们的目标是在相关领域发展有特色的代数方法，在几个方向上取得有重要影响的进展。

按照研究计划，我们在分拆和模形式理论、对称函数理论、单峰型理论、极值理论、代数图论等领域开展研究，取得多项重要成果，共发表论文65篇，发表期刊包括《Adv. Math.》、《J. Reine Angew. Math.》、《Proc. London Math. Soc.》、《Int. Math. Res. Not.》、《Math. Z.》、《J. Combin. Theory Ser. A》、《Discrete Comput. Geom.》、《SIAM J. Discrete Math.》、《J. Comb. Optim.》等。. 在整数分拆方面，我们解决了美国科学院院士、美国数学会前任会长G.E. Andrews和沃尔夫奖获得者、美国科学院院士、英国皇家学会会员F. Dyson等人提出的猜想，成果入选“南开大学2015年度十大科技进展”。在对称函数方面，我们利用发表在顶级数学期刊《Acta Math.》上的论文中的结构和算法解决了两个组合猜想；解决了Lassalle关于Schur函数特殊化后取正值的猜想。在单峰型问题上，我们证明了Boros-Moll多项式的两组变形的实根性和3阶对数凹性。此外，我们还给出了美国科学院院士D. Kazhdan和G. Lusztig建立的R-多项式反演公式的组合证明；解决了六维0/1-多面体的计数问题，该问题被国际数学家大会45分钟报告人G.M. Ziegler认为是超立方领域的一个困难问题。.在极值集合论方面，我们得到了有限向量空间上的Co-Kruskal-Katona定理。该定理包含有限向量空间上的Erdos-Ko-Rado定理为特例，而且还可以给出子空间中第二大交族的Hilton-Milner 定理的简单证明，第二大交族的确定被认为是一个困难问题。.在代数图论方面，我们解决了张量谱和超图谱这个热点研究方向中的若干个未解决问题。给出了张量的各阶Traces 的若干图论表示公式；证明了祁力群等提出的关于幂超图的最大Laplacian 和无符号Laplacian H-特征值的严格递降性的猜想，以及关于超图的Normalized Laplace 谱的谱半径与其最大H-特征值关系的问题；解决了V. Nikiforov提出的关于确定n阶odd-colorable r一致超图类的最大色数的问题。有4篇论文入选为ESI高被引论文。