光滑函数类上的几个逼近问题

The core problem of approximation continues to be the development of efficinet methods for replacing general functions by simpler functions and study the errors of approximation. Linear approximation is relatively natural and easily implementary methods. Recently, driven by some numerical problems from signal/image processing, the direction of approximation theory have rapidly moved toward nonlinear m-term approximation. Temlyakov mainly investigated the nonlinear m-term approximation on the Banach spaces and some classes of functions with smoothness and gave the optimal algorithm in the sense of order, greedy algorithm. Linear approximation characters of many important classes of functions have been studied completely, while the asymptotic behaviour of nonliear approximation on the classes of functions is still open. .The purpose of this project is as follows. .First,we will investigate the asymptotic orders of the nonlinear best m-term approximation and the convergence rates of different greedy algorithms by some special bases and dictionaries on the generalized isotropic and anisotropic Besov classes..Next, we study the recovery on the anisotropic Sobolev by the standard information,i.e.,function values under the condition of non-imbedding into the space of continuous functions and give the asymptotic orders of the recovery in the worst case and Monte Carlo settings..Finally,we deal with the approximate local and global solutions of the Fredholm integral equations with the kernel from the anisotropic Sobolev classes in different settings and provide the asymptotic orders of the numerical methods.

逼近的核心问题是寻找用简单函数代替复杂函数的有效方法并研究其逼近误差。线性逼近是比较自然且易实施的逼近方法，近来，在信号和图像处理等问题的推动下，非线性m-项逼近得到了广泛的研究。Temlyakov主要研究了具有一定光滑性的Banach空间及一些函数类上的非线性m-项逼近并给出了实现最优阶的算法，贪婪算法。许多重要函数类的线性逼近特征的研究比较完整，但非线性逼近在这些函数类上的渐近行为还有待于进一步研究。.在本项目中，首先，研究广义Besov函数类在一些特殊基及不同字典下的非线性最佳m-项逼近和不同贪婪算法的收敛阶。其次，研究各向异性Sobolev函数类在非紧嵌入到连续空间时由标准信息的恢复问题并给出在一致和随机框架下恢复问题的渐近阶。最后，研究由各向异性Sobolev函数类确定的第二类Fredholm积分方程在不同框架下局部解和整体解的数值逼近并给出数值逼近误差的渐近阶。

近来，在信号和图像处理等问题的推动下，非线性m-项逼近得到了广泛研究。而在很多情况下，贪婪算法提供了在阶意义上的最优算法。在本项目中，我们首先研究了广义各向同性与各向异性Besov函数类上的贪婪逼近问题并给出了贪婪逼近的收敛阶。.其次，最优恢复问题也是逼近论中的重要问题之一。已知未知函数的某些信息及性质，由此构造算法并研究逼近误差。最优恢复与学习理论有着密切的关系。因此，考虑一些重要函数类的恢复问题可以给其他问题提供理论上的参考。在本项目中，我们考虑了各向异性Sobolev函数类在非紧嵌入连续函数空间时在确定和随机框架下的最优恢复问题，并得到了最优恢复的渐近阶。而对于紧嵌入的情形，叶培新教授已经给出了相应的结果。另外，我们还研究了随机框架下的逼近与数值积分，并得到了这些逼近特征的渐近阶估计。.最后，我们将研究第二类Fredholm积分方程的数值逼近解并考虑逼近误差。微分方程和积分方程的数值逼近也是逼近论中广泛研究的热点问题。很多学者对不同的积分方程及微分方程的数值逼近解在不同框架下进行了研究。在本项目中，我们将考虑核和自由项来自于各向异性Sobolev类的第二类Fredholm积分方程在确定，随机和量子框架下的数值逼近解并研究其逼近误差。目前，已对确定情况下的逼近解及误差进行了分析并得到误差的渐近阶。对于周期各向异性Sobolev类的情形，马万等已得到确定框架下相应的结果。