平面微分系统极限环分支与扰动波动方程的同(异)宿分支及混沌

The bifurcation theory of dynamical system is substantially studied and widely applied, much attention was paid to applying the bifurcation and chaos theory of dynamical systems to seek the special exact solutions and investigate the complicated dynamical properties of nonlinear wave equations. In the project, we firstly study the local and global bifurcations of limit cycle for planar differential systems by using the bifurcation theory of dynamical systems, discuss the existence and stability of periodic solutions; secondly, generalizing the use of related bifurcation theory and methods in nonlinear wave equation, we study the bifurcation and stability of travelling wave of nonlinear wave equations, analyze asymptotic properties of solutions, the existence, persistence and the related chaotic behavior of the homoclinic and heteroclinic orbits of corresponding dynamical system under parameter perturbation. Simultaneously, we explore subharmonic bifurcation, homoclinic (heteroclinic) bifurcation, chaotic motion and universal characteristic induced by time delay and noise in wave equations. Moreover, internal connection and mechanism of action are revealed in chaotic motion. Application conditions and form of Melnikov method are also expanded. The research project will enrich the bifurcation theory and method of dynamical system, thus establish the foundation theoretically and technically for wave equations and the research of complicated dynamical properties.

随着动力系统分支理论的深入研究和广泛应用,利用动力系统分支与混沌基本理论和方法研究非线性波动方程的特殊精确解及复杂动力学性质成为关注热点.本项目首先利用动力系统分支方法研究平面微分系统的局部及大范围极限环分支,讨论微分系统周期解的存在性以及稳定性问题;其次,将相关分支理论和方法拓广,研究非线性波动方程的行波解分支及其稳定性,参数扰动作用下波动方程所对应的动力学系统的解的渐近行为、同(异)宿轨的存在性与保持性及其相应的混沌性态问题;同时研究探索时滞、噪声诱发的波动方程的次谐分支、同(异)宿分支、混沌运动及普适特征,揭示时滞和噪声在混沌运动中的内在关联和作用机理,发展Melnikov方法的应用条件和形式.本项目的研究将丰富动力系统分支理论和方法,为波动方程及其复杂动力学性质研究奠定理论和技术基础.

本项目研究非线性动力系统解的存在性、稳定性以及解的长时间动力学行为,并基于此对非线性波动方程的分支与混沌等复杂动力学行为进行探索研究,为数学、物理、生物及其交叉学科中出现的复杂模型提供新的数学工具和分析方法。自项目开展以来,项目组对拟解决若干关键科学问题深入研究分析,所取得的主要研究进展和成果包括：(1).利用动力系统定性理论与方法研究一类广义KdV方程中非解析波以及各种有界行波解的分类及动力学行为,证明了方程在边值条件下存在峰状孤立波及尖状孤立波解,并利用相图分析技术给出孤立波的存在的参数条件及其精确参数表示;(2).研究一类反应扩散系统解的渐近性质及其全局一致有界解及吸引子的存在性,借助算子半群理论和不动点定理,构造局部解并估计其正则性,得到解的部分估计和解半群的渐近紧性;(3).研究带有阻尼项的分数阶弱耗散浅水波KdV方程，其主要困难在于耗散项为非局部算子,使用交换子估计和乘积估计处理分数阶拉普拉斯算子方法,巧妙解决此问题。通过尾端估计证明了解半群的渐近紧性,弱耗散分数阶KdV方程的全局吸引子的存在性得到证明,这些方法和思路可推广到其他动力学方程的研究。