向量优化问题的近似解的最优性条件

The aims of this project is to study optimality conditions of approximate solutions in vector optimization. Applying the theory and methods of convex analysis, nonlinear analysis, nonsmooth analysis and variational analysis etc, linear scalarization and nonlinear scalarization of approximate solutions for vector optimization are studied, and the equivalence relationships between approximate solutions of vector optimization and the scalar optimization are established; the Kuhn-Tucker optimality conditions and duality theorem of approximate solutions in vector optimization are studied by generalized subdifferential or the generalized directional derivative; the approximate solutions of vector variational inequalities are studied, the equivalence relationships between approximate solutions of the vector optimization problems and the variational inequalities are established; the new concept of approximate proper efficient solutions are introduced, and its optimality conditions are given. The purpose of this project is to develop and increase the theory of approximate solutions in vector optimization, to provide a theoretical basis for solving vector optimization problems.

本项目主要研究向量优化问题的近似解的最优性条件。应用凸分析、非线性分析、非光滑分析和变分分析等理论和方法，研究向量优化问题近似解的线性标量化和非线性标量化性质，建立向量优化问题近似解与标量优化问题近似解之间的等价关系；应用广义次微分或者广义方向导数，研究向量优化问题近似解的Kuhn-Tucker型最优性条件和对偶定理；研究向量变分不等式的近似解，建立向量优化问题的近似解与向量变分不等式近似解之间的等价关系；引入新的近似真有效解概念，建立新引入的近似真有效解的最优性条件。本项目的研究旨在丰富和发展向量优化问题的近似解理论，为求解向量优化问题的近似解提供理论基础。

近年来，向量优化问题近似解的研究越来越受到人们的重视，主要有两方面的原因：其一，从理论上，当向量优化问题的可行集不具备紧性条件时，向量优化问题的“解”可能不存在, 为了处理非紧条件下的向量优化问题，人们只能退而求其次，寻找近似解；其二， 从计算上，许多通过迭代算法或者遗传算法得到的解都是近似解而不是精确解。此外，即使精确解存在，有些时候求出精确解要付出很大的代价，这时人们也会选择近似解。因此对向量优化问题近似解的研究意义重大。本项目按照预期计划研究了向量优化问题的近似解的最优性条件：（1）给出了向量优化问题的关于一个映射的拟极小解的Kuhn-Tucker型最优性必要和充分条件，为向量优化问题算法的设计提供了理论基础。并在此基础上，构建了近似对偶模型，建立了对偶定理，为求解向量优化问题提供了一种可供选择的途径。（2）对于不可微优化问题，我们利用广义次微分，给出了不可微优化问题的关于一个映射的拟近似解解集的性质和刻画。为求出拟近似解解集提供了理论依据。同时，建立了优化问题与变分不等式在一定条件下的等价关系，将所得结果应用到变分不等式的研究中，给出一类变分不等式的解集的刻画。（3）得到了集值映射向量优化问题Benson近似真有效解的线性标量化性质和Lagrange 乘子定理。（4）研究了集值映射向量优化问题广义拟近似有效解的性质和存在性。