具有临界非线性项的薛定谔方程解的渐近行为

The nonlinear Schr?dinger equation with critical nonlinearities is a kind of typical nonlinear dispersive equation, and it is studied widely in quantum physics, optics, fluid mechanics, and etc.. Since the critical nonlinearities are long range interactions, the properties of solutions to the nonlinear Schr?dinger equation with critical nonlinearities become more complex. Therefore the asymptotic behavior of solutions to nonlinear Schr?dinger equations with critical nonlinearities is a popular research topic. Moreover, the nonlinear Schr?dinger systems are always concerned in practical application. The project aims to investigate some important problems as follows. We study the initial problem of nonlinear Schr?dinger equations with critical nonlinearities which do not satisfy the gauge condition in low space dimensions. We also investigate the initial and final problem of nonlinear Schr?dinger systems with critical nonlinearities under the mass resonance condition or mass non resonance condition in low space dimensions. For all the problems mentioned above, we discuss global existence of solutions, time decay estimates of solutions, large time behavior of solutions and existence of modified wave operators.

具有临界非线性项的薛定谔方程是一种典型的非线性色散方程，在量子物理、光学和流体力学等领域中有着广泛的应用。由于临界非线性项的长程作用，使得具有临界非线性项的薛定谔方程解的性质非常复杂。基于此，具有临界非线性项的薛定谔方程解的长时间渐近行为一直是研究的热门课题。另外，在实际应用中，往往涉及具有临界非线项的薛定谔方程组问题。本项目拟研究如下问题：不满足"gauge" 条件的、低维具有临界非线性项的薛定谔方程的初值问题；在粒子质量共振或非共振的条件下，探讨低维具有临界非线性项的薛定谔方程组的初值和终值问题。针对上述问题我们讨论整体解的存在性、解的时间衰减估计、解的长时间渐近行为和修正波动算子的存在性。

非线性薛定谔方程是非线性发展方程的典型代表之一，在量子物理、光学和流体力学等领域中有着广泛的应用。具有临界非线性项的薛定谔方程解的长时间渐近行为一直是研究的热门课题。在本项目的支持下，围绕非线性临界薛定谔方程（或方程组），应用调和分析的现代理论研究了非线性临界薛定谔方程（或方程组）的初值和终值问题，我们提出了一系列创新的研究方法，主要科学发现点如下:（1）在齐次加权空间中研究了具有临界非线性项的薛定谔方程组的初值问题。在粒子的质量共振条件下，讨论了一类非线性薛定谔方程组整体解的存在性、时间衰减估计及渐近自由解的存在性。克服了非线性方程组中方程相互作用的复杂性，为研究低维非线性发展方程解的长时间渐近行为提供了有效的方法。（2）主要研究了非线性项含未知函数导数的临界薛定谔方程组的初值问题。揭示了含导数的非线性项与粒子质量的关系，指出在质量共振和不同耗散非线性项的相互作用下，所得到的非线性薛定谔方程组解的时间衰减估计的差异性。由此我们可以进一步研究更为复杂的薛定谔方程组解的性质。（3）在耗散条件下，研究了具有临界（亚临界）非线性项的薛定谔方程的大初值问题。讨论了薛定谔方程解的整体存在性和解的时间衰减估计。通过引入新的算子和分析手段，改进了2009年学者Naoyasu Kita和Akihiro Shimomura的研究成果, 为研究非线性薛定谔方程的大初值问题提供了新的方法。（4）在质量共振的条件下，讨论了具有临界非线性项的低维非线性薛定谔方程组的终值问题。证明了此类非线性薛定谔方程组修正波动算子的存在性。讨论了所研究非线性薛定谔方程组解的衰减估计。我们刻画了更为精确的此类非线性薛定谔方程组解的长时间渐近行为。在本项目执行期间共发表学术论文12篇，其中SCIE论文8篇。培养硕士研究生三名。依托此基金项目，项目主持人获国家留学基金委批准，于2018年2月-2019年2月以公派访问学者身份到意大利比萨大学数学系学习。