状态受约束的正倒向随机最优控制问题研究及其应用

This project investigates forward-backward stochastic optimal control problems with constraints on the state. Based on the theory of backward stochastic differential equation, we focus on the recursive stochastic exit time optimal control problems and the recursive stochastic optimal control problems in which the state equation of the control system includes reflected term or sub-differential operator. We study the dynamic programming principle, Hamilton-Jacobi-Bellman equations and stochastic verification theorem for such control problems with constraints on the state. This is expected to obtain some important results which will promote the development of the stochastic control theory. Moreover, we will also give some applications of our results to game theory and to financial portfolio optimization problems in order to provide some valuable suggestions for the investors’ strategy choosing.

本项目研究状态受约束的正倒向随机最优控制问题。我们以倒向随机微分方程为基础，着重考虑递归随机逃离时间控制问题以及受控状态方程带有反射或者带有次微分算子的递归随机控制问题，深入探讨状态受约束情形下的动态规划原理、Hamilton-Jacobi-Bellman方程和验证定理等重要问题，取得突破性理论成果，以期丰富和完善随机控制领域的理论成果，推动随机控制理论发展。同时，寻求上述理论成果在博弈论和金融投资优化等领域的应用，为投资者的决策选择提供有价值的参考。

状态受约束的随机最优控制问题和博弈问题广泛存在于现实社会的各个领域并发挥着重要的作用，是该领域研究热点和难点。本项目研究受约束的正倒向随机控制和随机微分博弈问题以及相关金融应用。.在国家自然科学基金青年基金资助下，项目进展良好，取得了预期成果。截至目前，发表标注得到国家自然科学基金青年基金（项目批准号：11601285)资助的SCI论文共9篇。其中，项目负责人发表SCI学术论文4篇，包括在控制论国际顶级学术期刊SIAM Journal on Control and Optimization发表文章2篇，在金融数学领域国际顶级学术期刊Mathematical Finance发表论文1篇。项目其他成员发表SCI论文5篇。在本项目的基础上，项目负责人获得国家自然科学基金面上项目一项。另外，项目负责人2018年度研究成果“倒向随机微分方程在最优控制与微分对策中的应用”获得山东省高等学校科学技术奖二等（第二位）。.重要结果如下：.1.解决了现代非线性市场中欧式合约定价问题，本质推广了曾获诺贝尔经济学奖的Black-Scholes公式，为研究带有信用违约风险的现代金融市场奠定了基本框架。.2.建立了控制域非凸递归随机控制问题最大值原理和动态规划原理的关系，本质推广了IEEE Fellow周迅宇教授的研究成果，明确了正倒向随机控制系统的内部结构和最优控制的特点，推动了正倒向随机最优控制理论的发展。.3.解决了控制受约束的主从随机平均场博弈问题的非中心化近似Nash均衡策略，弥补了经典非合作博弈均衡理论的局限性，可用于分布式局部发电和存储的电力网络。.4.建立了多维鞅驱动的倒向随机微分方程的适定性和比较定理，适用于现代非线性市场的要求，为合约定价、投资优化等问题研究奠定了基础。.我们的研究结果可以解决一批受约束的随机控制和微分博弈问题以及现代金融市场中衍生证券定价和投资优化等问题，为投资者提供有价值的参考，有利于推动随机控制理论和博弈理论的发展。