再生核空间中若干分数阶微分方程数值解法的研究

Fractional order calculus is an extension of the traditional integer order calculus. in recent decades, the researchers found that fractional order differential equation is more precisely in describing some problems with memory and genetic characteristics of real life, such as capacitance theory, condensed matter physics, semiconductor physics, turbulence and viscoelastic system, etc., so research numerical method of solving fractional order differential equations has practical significance in theory and application. The project will study numerical method for solving some fractional order differential equations by using the reproducing kernel theory and method combining with numerical experiment. Structures a new method for handing definite solution conditions, gets a new numerical method for solving fractional order differential equations. As applications, solves fractional-order Bagley-Torvik equation, Fokker-planck equation, the delay equation and singularly perturbed problems, etc. By numerical experiments, the results show the effectiveness of the project. by comparing the proposed method with other traditional methods, The results indicate the method of this project has high precision, strong stability, good convergency and computational complexity, so, avoids the computational complexity problem which other methods met in solving fractional order differential equations. the study of this project is a novel and has great significance not only in the improvement of the reproducing kernel methods but also in the development of fractional order differential equations.

分数阶微积分是传统整数阶微积分的推广。近几十年里，研究者们发现分数阶微分方程非常适合用来描述现实生活中具有记忆和遗传特性的问题，如电容理论，半导体物理、湍流、凝聚态物理，粘弹性系统等，因此研究这类方程的数值解法有现实的理论和应用意义。 本项目将再生核理论、方法和数值实验相结合，研究若干分数阶微分方程的数值解法。利用再生核理论的良好性质，建立定解条件的新处理方法，得到求解分数阶微分方程的新数值方法。作为应用，求解分数阶Bagley-Torvik方程、Fokker-planck方程、延迟方程和奇摄动问题等问题，并在计算机上实现其算法，验证方法的有效性。将本项目方法与其他传统方法进行比较，表明本项目方法精度高、稳定性强、收敛性和计算复杂性好，从而避免了其它方法在求解分数阶微分方程中遇到的计算复杂性问题。 本项目的研究不仅完善再生核方法，而且促进分数阶微分方程的发展，是一个新颖的有重要意义的课题。

本项目研究了再生核方法和无网格重心插值配点法，在再生核空间中给出若干分数阶微分方程数值解法，建立了延迟常微分方程、偏微分方程（组）的无网格重心插值配点法。发展和完善了再生核方法，促进了分数阶微分方程数值解的发展和无网格重心插值配点法的应用。主要完成了：.一、本项目完善了再生核理论和再生核方法。 具体完成的内容如下：.提出了奇次化定解条件放在再生核空间中的一般处理方法，从而改进了传统再生核方法；提出了避免非齐次定解条件齐次化的再生核插值方法；提出了偏微分方程初值问题的分片插值再生核方法；构造出初等函数形式的再生核。.二、本项目在再生核空间中研究了若干分数阶微分方程数值解，促进了分数阶微分方程数值解的发展。具体完成的内容如下：.本项目在再生核空间中给出具有复杂边界条件的分数阶常微分方程的数值解法并进行数值试验、算法比较、理论分析。在再生核空间中得到分数阶常微分方程的解析解和高效率、高精度的数值解。.本项目用再生核方法求解几类偏微分方程，尤其是分数阶偏微分方程。对很多难以求解的具有复杂边界条件的微分方程，例如带有非局部边界条件的分数阶偏微分方程， 利用再生核空间的良好性质和计算技巧得到满足该边界条件的分数阶微分方程的解析解和数值解。.本项目用分片插值再生核方法分别对传热传质过程中沸水反应堆里氢的扩散问题、电力网络损耗过程中一类带有延迟项的分数阶问题、以及力学中脉冲激励的振动问题、分数阶电报方程等进行了数值计算。.此外，本项目还将再生核方法应用到石油生产中，数值模拟了多个产层下的生产井井下不同位置的径向温度分布和注水井井筒中不同注入温度时的温度分布。.三、本项目拓展了无网格重心插值配点法的应用，建立了延迟常微分方程、偏微分方程（组）的无网格重心插值配点法，将无网格重心插值配点法应用到延迟微分方程、Burgers方程（组）、KDV方程等方程中，得到这些问题的高效率、高精度的数值解。