R-L分数阶积分微分方程的小波解法及其力学应用研究

Modeling methods and theories of fractional calculus have a number of applications in many fields. But there are great difficulties to get the analytic solution of fractional calculus equation. The development of the numerical solution of fractional calculus equation has an urgent need. And Laplacian equation of fractional order with the Fredholm integral equation is intrinsically linked and similar. Combined with function approximation theory, integral equation theory and wavelet analysis theory, the study focuses on the theories of the numerical solutions of Riemann-Liouville fractional integral equation and on the theories of the numerical solution of fractional Laplacian equation, and attempt to carry out applied research work in mechanical problems. This study intends to commence in four working points. (1) Based on the numerical method of traditional singular integral equation and wavelet analysis theory, the convergence, accuracy and stability of numerical solution of Riemann-liouville fractional integral equation and of frcational integro-differential euqations are studied. (2) Based on the theory and the numerical solution of Fredholm integral equation, the numerical methods of fractional Laplacian equation are studied. (3) The preliminary research work will be applied to some mechanical problems,especially the application of the fractional viscoelastic material.This project intends to establish the theories of promotion of the existing results and these theories can be applied to engineering and other fields.

分数阶微积分建模方法和理论在诸多领域有着若干应用，而分数阶微积分方程的解析求解又存在很大的困难，所以发展分数阶微积分方程的数值解法是一个迫切需要解决的问题；另外分数阶拉普拉斯算子方程与Fredholm积分方程有着内在的联系和相似性.所以本项目结合函数逼近论、积分方程论和小波分析等理论，重点对R-L分数阶积分方程和分数阶拉普拉斯算子方程的数值解法从理论上展开研究，并开展在力学问题中的某些应用研究.本研究拟在三个工作点上展开：（1）依据传统的奇异积分方程数值方法和小波分析理论分别研究R-L分数阶积分方程和分数阶积分微分方程数值解的收敛性、精度和稳定性等问题；（2）依据Fredholm积分方程理论及其数值方法研究分数阶拉普拉斯算子方程的数值解法；（3）将此项目的前期研究工作应用于某些力学问题中，特别是分数阶黏弹性材料的应用研究. 本项目拟建立的理论推广了现有结果，并可以应用于工程领域.

分数阶微积分建模和理论在量子力学、控制理论等诸多领域有着若干应用，而分数阶微积分方程的解析求解存在着很大的困难，所以研究分数阶微积分方程的数值解法是一个迫切需要解决的问题。本项目主要利用数值分析、积分方程论和小波分析等理论，重点对R-L分数阶积分方程和R-L分数阶积分微分方程的数值解法进行了研究，并将部分结果应用在某些力学问题中的研究中。研究工作主要有以下四方面。（1）应用Haar小波、有理Haar小波、CAS小波等小波方法研究了几类R-L分数阶积分方程和积分微分方程，分别讨论了解的存在性问题，得到了各类积分微分方程的数值解，同时理论分析了数值解的误差估计和相应的算子矩阵，数值算例验证了方法的有效性，认为在计算复杂度相同的情况下有理Haar小波的精度较高。（2）应用分部积分法、Lagrange重心插值配点法和Adomian分解算法研究了分数阶积分方程、积分微分方程和积分方程组的数值解问题，证明了各种级数解的收敛性，并进行了误差分析，数值算例表明方法的有效性。（3）将整数阶和分数阶微积分方程的数值解法应用于力学问题的研究中。首先，研究了分数阶粘弹性本构积分微分方程，经过积分变换将方程转化为分数阶积分方程，应用分数阶积分方程数值解理论得到了粘弹性流体本构方程的数值解；其次，应用积分方程数值解法研究了功能梯度材料在界面裂纹和涂层中接触问题，将本构方程转化为奇异积分方程，通过数值求解得到应力强度因子中不均匀参数与裂纹和涂层的相互作用；第三，将微积分方程数值求解应用在SH波对一维六方准晶中传播裂纹的研究中，数值算例表明裂纹传播速度、裂纹长度、入射角、入射波频率的相互作用。（4）从理论方面研究了广义积分在锥中广义函数中的应用，获得了广义Martin函数在无穷远处广义调和控制的一些刻画，推广了拉普拉斯算子的结果。项目组成员团结协作，积极开展研究取得了预期的研究成果，项目共发表学术论文20余篇，培养研究生6名，5名在读研究生，2篇硕士学位论文获得宁夏优秀硕士学位论文。