相关联的几类组合设计的构造及其应用

The theory of combinatorial designs is an important branch in combinatorial mathematics. It is well known that difference matrix, orthogoanl Latin square and orthogonal array are the elementary objects and the important tools of combinatorial designs. In this project, we shall investigate the constructions and applications of several related designs, which are usually used to construct new designs. Specificly, we shall study the construction of quasi-difference matrix and its application in related designs and optical orthogoanl codes; orthogoanl Latin square with special property and its application in the test of statistical planning; orthogonal arrays and double large set of orthogonal arrays and their applications in cryptography resilient function; multimagic square and its applications in secure communication and authentication, etc.

组合设计理论是组合数学的一个重要分支. 差阵、正交拉丁方、正交表是组合设计的基本研究对象和重要工具. 本项目拟研究在组合设计构造中常用到的相互关联的几类设计的构造及其应用，包括拟差阵的构造及其在相关设计和光正交码中的应用，特殊正交拉丁方的构造及其在统计规划试验中的应用，正交表和正交表双大集的构造及其在密码弹性函数方面应用、多重幻方的构造及其在保密通信和认证方面的应用等.

拟差阵、正交拉丁方、幻方等是组合设计基本研究对象和重要工具。本项目主要研究了几类相关联的组合设计的构造及应用，包括拟差阵的构造及其在正交拉丁方中的应用，证得存在两类特殊拟差阵，并给出欧拉关于相互正交拉丁方猜想不成立的一个简短证明；研究了几类特殊正交拉丁方的存在性，包括强对称自正交对角拉丁方、近似正交拉丁方、强对称自正交对角数独；研究了几类特殊幻方的存在性，以正交拉丁方为工具来构造一系列幻方，包括杨辉型幻方，对称泛对角幻方，多重幻方；研究稀疏反幻方的存在性，包括较大密度和较小密度稀疏反幻方；进一步超单纯设计存在性，包括区组长度为5，指数为4的超单纯可分组设计及区组长度为3和4的超单纯成对平衡设计的存在性等, 证得此类超单纯设计存在的必要条件也是充分的。