奇异摄动新理论及其在生态和传染病方面的应用

奇异摄动理论研究具有不同时间尺度的变量之间的相互关系，它经历了非标准分析、渐进分析和几何奇异摄动理论等发展阶段。1996年F. Dumotier和R. Roussarie利用Blow-up技巧，中心流形定理和动力系统的方法，发展了原有理论，给出计算张弛周期解和判断其重数的公式等一系列新的理论和方法，并把上述新理论应用于高维系统和多方面的实际问题。在生物、生态和疾病等数学模型中，当变量的时间尺度不同时，其数学描述体现为奇异摄动，应用上述理论和方法可对相关模型进行更深入的研究。目前国内尚未见到相关的文章发表。如何应用这一新理论到实际模型，如何进一步发展这一新理论使它更加完善，并更好地应用到上述实际问题，是本项目拟研究的课题。

对奇异摄动理论的研究已有很长的历史，但对奇异摄动产生周期解的个数这个核心问题，即使是二维系统，都曾缺乏精确研究的工具。最近10几年来，F. Dumortier, R. Roussarie 和 P. Maesschalck 三人填补了这方面的一个空白，他们发表了一系列深刻的研究成果，在奇异摄动理论方面做出的重要贡献，已被国际同行广泛认可。其中他们发现了研究奇异摄动下产生周期解个数问题的一个重要工具，称为Slow divergence integral。在对他们的工作进行深入研究的基础上，我们对Slow divergence integral 给出了便于应用的新公式，并用它成功地研究了一系列生物和医学中提出的数学模型，包括对具有Holling型功能性反应函数的捕食-被捕食系统在奇异摄动下的周期解个数的研究，和具有非线性发病率的SIS传染病模型的研究等等。对于所研究的数学模型，我们在参数空间中给出精确的分区，指出各个区域中相应系统轨线的拓扑分类，特别是确定了周期解的个数和重数。. 其它重要结果还有：（1）把著名的Poincaré–Pontryagin定理从二维系统推广到三维系统，并用它证明了一类三维Lotka-Volterra系统在扰动下在一个二维不变流形上极限环的存在与唯一性。（2）对某些离散SIS模型定义和研究其基本再生数，研究其无病平衡点的全局稳定性，研究系统的各种分支现象和动力学行为，并对一些情况做了数值模拟。（3）证明了一类流行病模型可出现余维三B-T分支，并且这种分支的最大余维数为三。（4）讨论了一类具有垂直传播和非单调发病率的延迟SEIR流行病模型。（5）研究了在人体内造成细胞间感染的t-嗜淋巴细胞病毒的数学模型，证明了其动力学性态完全由基本在生数R_0的幅度所控制。(6) 研究了具有幂零奇点和分区医院资源的SIR模型的动力学行为。(7)对公共卫生资源有限条件下登革热的传播和控制进行建模和研究。