主值隔离径向积分边界单元法及其在非线性问题中的应用

边界单元法在解决断裂、运动边界、无限域、超薄结构等问题中具有独特的优势。然而，传统的边界单元法只是在解决线性问题时显示出优越性，在处理非线性问题（如弹塑性问题）时,建立有效的边界元算法仍是一个极具挑战性的问题。本课题旨在研究一种能解决一般非线性、变系数、以及各向异性问题的边界元算法。基本研究思路是:首先采用加权余量法建立一般非线性问题的边界-域积分方程，然后通过积分主值隔离技术建立显式表达位移的积分方程，并使用径向积分法将出现在积分方程中的域积分转化成边界积分，形成只需要边界离散而求解一般非线性问题的纯边界元算法。此算法的特点是：通过主值隔离技术建立的位移显式表达式使得建立高精度的应力积分方程成为可能；问题的非线性效应体现在积分系数中，建立的非线性问题积分方程只显式地包含位移和面力基本物理量，非常便于建立不同材料组成的多域边界元算法，从而可为边界元法解决复杂工程问题奠定理论和算法基础。

边界单元法在解决断裂、运动边界、无限域、超薄结构等问题中具有独特的优势。然而，传统的边界单元法只是在解决线性问题时显示出优越性，在处理非线性问题（如弹塑性问题）时,仍存在许多挑战性的问题需要研究。针对边界单元法在解决非线性、非均匀介质、各向异性、以及复合介质问题中的不足和效率低的问题，本课题研究了一种能有效解决这些问题的新型边界元算法。该算法从一般力学问题的平衡方程出发，采用加权余量技术建立一般情况的边界-域积分方程。对于弹塑性和变系数各向异性问题，这样导出的积分方程中的位移和面力都出现在积分项内，因此给导出应力计算式带来了困难。为了解决此问题，我们使用一种积分主值隔离技术，从建立的边界-域积分方程中将计算点处的位移作为自由项隔离出来，并通过应力-应变本构关系建立计算应力的积分表达式。为了避免使用内部网格，我们对径向积分法（RIM）在非线性问题中的应用方面做了深入的研究，将出现在所研究问题的积分方程中的所有域积分转化成了等价的边界积分，形成了只需边界离散的纯边界元算法。. 本项目导出的位移和应力积分方程具有非常强的通用性，可以统一求解变系数（如功能梯度材料等）、非均质（如多重介质）、非线性（如：弹塑性、损伤力学等）、以及各向异性等问题；所建立的非线性（如弹塑性）问题的积分方程中，只有位移和面力显式地出现，因此，具有有限元法解题灵活、迭代收敛性快、便于处理多种介质问题的优点；用本项目研究的方法求解工程问题时，应力的计算精度与位移精度具有同等的级别，保留了边界元法求解线性问题时的优点，克服了有限元法中应力精度低的缺点。. 本项目的主要研究内容包括：建立求解非线性、非均质、各向异性等问题通用的边界-域积分方程、建立高精度计算应力的边界-域积分方程、建立只需边界离散的无内部网格边界元算法、建立正则的位移与应力积分方程、建立求解复合介质问题只用公共边界位移表述的系统方程、发展求解大型矩阵方程的有效方法。. 课题组顺利地完成了项目计划书中规定的各项研究内容，在复合结构、弹塑性问题、积分奇异性处理、大型非对称矩阵方程的求解等方面取得了突破性的研究成果，发表了50余篇学术论文，包括35篇SCI、45篇EI检索论文，1本中文专著、1本英文著作，相关成果获得了教育部自然科学二等奖，申请人荣获国际华人计算力学学会会士奖、杜庆华工程计算方法奖。