统计模型中的若干组合问题

图的Dimer问题与Monomer-Dimer问题是统计物理学家计算可解模型的热门研究对象，与此相关的计数问题更是组合学家十分关心的问题，如美国科学院院士Stanley与Fisher等，前数学联盟主席Lovasz等的专著"Matching Theory"对这些问题也有专门讨论，Okounkov在随机完美匹配方面的贡献是他06年获得"费尔兹"奖的成果之一。本项目研究与统计力学密切相关的几个组合问题：研究以气体吸附为背景的Dimer问题而产生的图的若干计数问题，包括图的完美匹配与所有匹配的计数、生成树的计数和独立集的计数等，及这些图参数之间的关系；研究统计物理中重点关注的格子系统的随机完美匹配与随机生成树及其极限问题，对这些系统的空间相变临界区域给出某种程度的刻画；研究以上两问题之间的内在联系与应用。本项目预期成果将为统计物理的研究提供数学理论依据，它具有学科交叉性质和多方面的应用背景。

图的某些子图的计数问题是组合数学研究中最基本的问题之一，在统计物理中有非常重要的应用，是求解统计模型的主要研究对象。从2011年开始，本项目课题组成员在包括J Combin Theory Ser A、J Stat Phys、J Stat Mech Theory and Exp、Discrete Appl Math等10多种SCI检索期刊上共发表了相关学术论文20篇，主要研究了如下问题：.1. 研究了图的线图的完美匹配的计数问题（线图的Dimer问题），给出了一个算法计算线图的完美匹配数，得到了线图的完美匹配数的一个上界，并刻画了达到此上界的极图。特别，我们完全解决了最大度小于等于3的图的线图的Dimer问题，这个结果给出了一个统一的方法解统计物理学家关于许多格子图的Dimer问题。.2. 研究了统计物理中Triangular Kagome(三角形Kagome)格子的能量、生成树与Kirchhoff指标等拓扑指标。.3. 研究了Sierpinski Gasket格子与推广的Sierpinski Gasket格子的独立集的计数问题，得到了渐近计算公式。.4. 研究了正则图的叠线图(Iterated line graphs)与团插入图的生成树的数目与Kirchhoff指标的渐近性。.5. 证明了：对任意一个四角链Q，一定存在一个相应的毛毛虫树C(Q)，使得四角链Q的完美匹配数等于C(Q)的所有匹配数，并且把这个结果推广到更一般的情况。特别，我们研究了随机四角链的完美匹配的计数问题。.6. 刻画了三类图的所有Laplace特征多项式的系数的上界，并得到了相应的极图（一个图的生成树的数目等于其Laplace特征多项式的一次项的系数除以此图的顶点数）..7. 刻画了具有固定色数或给定连通度的连通图中具有最大匹配能量的图的结构。.8. 考虑了一个正则图G与其团插入图C(G)的临界群之间的关系的问题，首先构造了这两个临界群之间的一个群同态，利用这个同态关系，我们证明了非二部图G的临界群同构于C(G)的临界群的一个商群，并且证明了当G是2-边连通时，C(G)的临界群的生成元的最小数目等于G的独立圈的数。.9. 研究了具有某种特殊边界的广义Bethe格子上的沙堆模型，利用组合方法给出了这种模型中所有single-site概率与two-side联合概率的明确表达式。