图的电阻距离和基尔霍夫指数的研究

The resistance distance between any two vertices of a connected graph is defined as the effective resistance between them if each edge of the graph is replaced with a unit resistor in corresponding electrical network. The Kirchhoff index is the sum of the resistance distances between all the pairs of vertices. The resistance distances and Kirchhoff indices of graphs are related to graph theory, engineering physics, network science, etc., which are widely applied to electrical network theory, complex network analysis, chemical molecular property prediction, and so on. However, the most of existing research on resistance distances and Kirchhoff indices are confined to some special graphs, unicyclic graphs, bicyclic graphs and other sparse graphs. Therefore, this project will study the following several aspects: (1) The precise estimations of Kirchhoff indices for the almost all graphs with the probability method in random graph theory. (2) Various boundary conditions of graphs effect on their resistance distances and Kirchhoff indices with spectrum graph theory. (3) The resistance distances and the Kirchhoff indices of composite graphs with the generalized inverses of matrices, especially the degree resistance distance and degree Kirchhoff indices. This project not only will enrich the research content and applications of graph theory, but also will provide some references to the quantitative analysis and optimization designs of electric networks.

连通图中任意两点之间的电阻距离被定义为用单位电阻代替图中每条边后相应的电网络中这两点之间的有效电阻，图的基尔霍夫指数被定义为图中所有点对之间的电阻距离之和。图的电阻距离和基尔霍夫指数涉及到图论、工程物理、网络科学等，其理论被广泛应用到电网络理论研究、复杂网络分析、化学分子的属性预测等领域，但现有关于电阻距离和基尔霍夫指数的研究大多数局限于一些特殊图、单圈图和双圈图等稀疏图，为此本项目将开展以下几个方面的研究：(1) 运用随机图论中的概率方法，研究几乎所有图的基尔霍夫指数的精确估计。(2) 运用谱图理论方法，研究不同的边界条件对图的电阻距离和基尔霍夫指数的影响。(3) 运用矩阵广义逆理论，研究一些复合图的电阻距离和基尔霍夫指数，特别是度电阻距离和度基尔霍夫指数。本项目的研究不但可以丰富图论的研究内容和应用，而且将对电网络的量化分析和优化设计起到一些参考作用。

连通图中任意两点之间的电阻距离被定义为用单位电阻代替图中每条边后相应的电网络中这两点之间的有效电阻，图的基尔霍夫指数被定义为图中所有点对之间的电阻距离之和。图的电阻距离和基尔霍夫指数涉及到图论、工程物理、网络科学等，其理论被广泛应用到电网络理论研究、复杂网络分析、化学分子的属性预测等领域。本项目的重要结果包括以下五个方面：(1)在基尔霍夫指数极值和极值图刻画方面，针对完全多部图，确定了完全多部图中取得最大和最小基尔霍夫指数的极值，并刻画了相应的极图。(2)基于图谱理论和矩阵块分解理论，研究了几类线性链的基尔霍夫指数及度基尔霍夫指数。(3)运用矩阵广义逆理论，确定了细分点冠图、细分边冠图、冠图和邻居冠图的广义逆表示，从而确定复合图中任意两点间的电阻距离，并以此求解复合图的基尔霍夫指数及度基尔霍夫指数等问题。（4）我们刻画了欧拉图中具有最小和最大的萨格勒布指数的极值图，并求出了相应的极值。计算了某些重要的化学结构网络的拓扑指数，如硅酸盐网络、六边形网络、氧化物网络和蜂窝状网络的拓扑指数和乘积萨格勒布指数，并利用计算机绘图进行比较，阐明了这些拓扑指数如何反映化学网络结构性质。(5)研究基于图的谱参数与结构参数之间内在联系，并取得了较好的成果。本项目在国家自然科学基金的资助下，经项目组成员一致努力，取得了丰富的研究成果，完成了项目预期的各项主要目标，出版学术专著1部，发表27篇学术论文，其中SCIE论文25篇(含2篇ESI高被引论文)，EI论文2篇。这些研究成果不但丰富和发展了电阻距离及基尔霍夫指数等方面的研究内容和应用，而且也为电网络的量化分析和优化设计提供了积极的参考价值和理论依据。