大维随机矩阵特征值的普适与相变问题

Universality and phase transition of eigenvalues for large dimensional random matrices are the key problems in Random Matrix Theory, for which stochastic analysis, Lie groups, complex analysis, combinatorics and statistical physics are involved. Recently, products and sums of random matrices afford some new universal patterns which exhibit phase transitions and critical phenomena, like the famous BBP phase transition. The project focuses on three topics: (1) singular values for products of random matrices; (2) eigenvalues and singular values for sums of two random matrices; (3) complex eigenvalues of non-Hermite random matrices. We will prove that the eigenvalues form determinantal point processes, and further investigate potential phase transitions.

大维随机矩阵特征值的普适性质与相变现象是随机矩阵理论中意义重大且难度高的核心课题，其研究涉及概率与随机分析、典型群、复分析、组合与统计物理等领域。近几年来，随机矩阵的乘积与线性和这两种结构不但提供了广泛的课题，更展现出一些新的渐近性质。尤其当矩阵系综中一些参数变化时，某些渐近性质表现出类似最大特征值BBP相变的临界与相变现象。本项目拟围绕三个方面的相关问题展开研究：（1）随机矩阵乘积奇异值；（2）随机矩阵和的特征值与奇异值；（3）非Hermite随机矩阵复特征值。我们将证明相关系综的特征值联合分布服从行列式点过程，并综合运用概率、李群与统计物理等方向的技术与方法来验证特征值的渐近普适性质，并探索可能出现的新相变现象。

大维随机矩阵特征值的普适性质与相变现象是随机矩阵理论中的重要问题，本项目针对对矩阵的乘积与和这两种基本运算，围绕高斯随机矩阵乘积奇异值、复特征值以及高斯随机矩阵与另一矩阵之和的特征值开展研究，探讨特征值的渐近局部性质。已正式发表SCI论文5篇，3篇标注预印本论文在投稿中。已取得的主要成果如下：.1）高斯随机矩阵乘积奇异值：给出了独立复高斯矩阵的对称化乘积特征值的精确联合分布，并证明其构成一个行列式点过程。特别，在谱原点处发现了由Meijer G函数形成的一族新关联核。 对独立实或四元数高斯矩阵和反对称矩阵的对称积，同样给出了特征值的联合密度并证明特征值形成一个行列式点过程。 . 2）高斯随机矩阵和的特征值与奇异值：对实与复厄米高斯矩阵+固定矩阵这类模型，在固定矩阵特征值正负a各为一半时， 证明了特征多项式自关联存在Pearcey型相变现象：当a<1时，极限为sine核现象；当a=1时，即临界情形，临界极限为Pearcey现象；当a>1时，极限为有限GUE现象。对非厄米高斯矩阵+固定矩阵的奇异值，同样证明了硬边缘形式的Pearcey型相变现象。.3）非厄米高斯随机矩阵乘积：完全刻画了M个N阶高斯矩阵乘积的复特征值在M和N同时趋于无穷时特征值的相变现象，并且当M与N成比例变化时出现临界现象。