随机矩阵理论中Beta系综的特征多项式

Characteristic polynomials are important objects in Random Matrix Theory. This project is concerned with asymptotic properties of characterist- ic polynomials for classical beta-ensembles, based on Jack polynomial theory. We will mainly consider the following two problems: (1) The Gaussian and chiral Gaussian ensembles with external source. Scaling limits for the expectation of products of characteristic polynomials will be calculated as the matrix order N tends to infinity. The phase transitions will probably occur because of the external source, which will be based on Jack polynomial theory and the saddle-point method for Selberg-type integrals. (2) The ratios of products of characteritic polynomials for classical random matrix ensembles: Hermite(Gauss)、Laguerre (chiral)、Jacobi、circular beta-ensembles. The main goal is to study local limits of the ratios and related integrals of Dotsenko-Fateev type. We plan to find a dulity formula and then do asymptotic ananlysis. The goal of this project is to find local limits of characteristic polynomials through the study of classical ensembles, and to explore universality conjecture for random matrices. Further understanding of beta ensembles will be deeply expected.

特征多项式是随机矩阵理论中的重要研究对象。本项目将利用Jack多项式这一有力工具来研究典型beta系综中特征多项式的渐近性质，拟做以下两个方面的问题： （1）N阶带外场的高斯和chiral高斯beta系综的特征多项式乘积。由于外场的存在，N趋于无穷时的局部极限预计会出现相变现象。为此需要进一步发展申请人同合作者引入的Selberg型多元积分的鞍点分析方法。 （2）4个典型矩阵系综：Hermite、Laguerre、Jacobi、circular beta系综特征多项式的乘积比。它与Dotsenko-Fateev型积分密切相关，而分析其渐近性质的关键是探寻相应的积分对偶表达公式和发展此类积分的鞍点分析。 本项目通过对典型系综的研究来寻找特征多项式的极限普适型和加深对随机矩阵理论中普适性问题的理解，并希望有助于一般位势下beta系综相关问题的研究。

随机矩阵是当前概率论的热点研究方向之一，其和数学的其他分支如数论、组合、表示论以及统计物理、信息论等方向有密切关联。本项目研究内容涉及随机矩阵中典型beta系综的特征多项式乘积与乘积比的渐近性质。..本项目已标注SCI论文8篇，部分发表在Commun.Math. Phys.,Constr.Approx.,Int.Math.Res.Notices,AIHP Probabilites et Statistiques等国际知名数学杂志上。对Gauss,Laguerre和Jacobi这三种典型β-系综的特征多项式自关联，首次对任意正数β证明和完全刻画了在谱内部和边缘处的普适性质，而之前已知的结果都依赖于β=1,2,4的特殊情形；该结果被2014年国际数学家大会45分钟报告人Virag在其报告中引用，他评价此工作“为谱内部和谱边缘算子过程提供了另一种刻画”，并进一步问“这种刻画和极限谱算子直接相关吗”。对带外场的高斯β-系综， 发现并证明了一种从次临界、临界到超临界状态的相变现象，此类现象在随机矩阵研究中极受关注，而我们的结论即使对β=1,4情形也是新的。另外，对随机矩阵乘积奇异值我们发现并证明了硬边缘处的一种相变现象，并在临界点处发现一族新现象，此工作被审稿人评价为“这些非常漂亮的结果在当前随机矩阵乘积研究中是相当有趣的”“新的临界核展现了随机矩阵理论中一个非常有趣的新现象”。