随机矩阵次占优特征值的定位及其模估计问题研究

A stochastic matrix is a mathematical representation tool of a Markov chain which has many important application fields, such as, management science, economics, computer network and so on. Its subdominant eigenvalues play an important role in the convergence, the rate of convergence and the sensitivity of the stationary distribution for a Markov chain. We in this project will study the localization of subdominant eigenvalues of a stochastic matrix and its modulus estimations. To be specific, we firstly give a set to localize all eigenvalues different from 1 of a stochastic matrix by applying the eigenvalue localization of matrices to its modification with a vector d, and study the optimization of d; Secondly, we also consider the the bounds (sequence) for its modulus with a vector d, and study the optimization of d; by the structure of a stochastic matrix, some new localization sets for subdominant eigenvalues and new bounds for its modulus will be given; And the eigenvalue problems of stochastic tensors as a generalization of stochastic matrices were also considered. The expected results of this project involved with subdominant eigenvalues of stochastic matrices (tensors) not only enrich the theory of stochastic matrices, also provide some theoretical supports and methods for the application of a Markov chain.

随机矩阵作为在管理学、经济学和计算机网络等领域具有重要应用的马尔科夫链的数学表示工具,其次占优特征值对马尔科夫链的收敛性、收敛速度及平稳分布的敏感性等问题的研究具有重要意义。本项目将研究随机矩阵的次占优特征值的定位及其模估计问题,主要有以下4个方面;1.选取不同的向量d对随机矩阵进行修正,将矩阵特征值包含区域作用于修正矩阵,以期得到随机矩阵非1特征值的包含区域,并研究最优向量d的存在性问题;2.利用得到的区域,给出次占优特征值模的与向量d相关的上、下界及上界序列,并研究最优向量d的存在性问题;3.给出具有特殊结构的随机矩阵次占优特征值的新包含区域,及其模的新估计式;4.研究随机矩阵的高阶推广-随机张量的特征值问题。通过这些问题的研究,以期得到随机矩阵(张量)次占优特征值的易于实现且较为精确的定位和估计方法。本项目的预期成果不仅丰富随机矩阵理论,也为马尔可夫链的进一步应用提供理论基础和方法。

随机矩阵是描述和研究离散时间马尔科夫链的数学工具，其次占优特征值决定随机矩阵的极限行为。本项目研究随机矩阵次占优特征值的定位及其模估计问题，主要研究内容及相关结果分别为：1.针对随机矩阵次占优特征值的定位与估计问题，给出了含参数的定位集两个及其模估计式两个，并推广其到一般特征值及其广义特征值定位问题上，引出一类结构矩阵，分别给出矩阵特征值定位集合和广义特征值定位集合各一个；2.针对高阶张量特征值定位与估计问题，给出高阶张量特征值定位集两个，及其扰动后特征值的定位结果两个，所获结果可应用到随机张量特征值的定位与估计问题上。上述结果丰富和发展了（结构）矩阵和高阶张量谱理论，为研究（高阶）马尔科夫链的收敛性等问题提供相关的理论支持。.在此基金项目资助下，共发表SCI检索论文10篇，培养博士研究生2名，硕士研究生5名。本项目总体上按照项目申请书的计划进行研究，完成了项目计划书所定的研究内容，达到了预期目标。