随机矩阵的普适性理论及其应用

本项目致力于研究经典随机矩阵模型GUE经变化后所生成的各种矩阵模型， 如酉不变族、β矩阵族、Wigner矩阵模型和行列式点过程等。主要研究内容包括：系统而深入地探讨这些模型的特征根（随机点过程）所遵循的普适性原理，揭示相应随机现象的内在规律；广泛地运用普适性原理求解各种谱统计量的极限分布及其分析性质；充分地运用随机矩阵的渐近分布理论分析高维数据等实际问题。主要研究方法有：求解Riemann-Hilbert 问题，获得正交多项式在整个复平面上的精确渐近性质；利用Edelman的稀疏矩阵表示， 通过矩方法获得有效的递推公式，寻求参数β的依赖性；更精细地利用Stieltijes变换，获得经验谱分布和极限分布之间的误差估计；建立有效的比较原则，将Wigner一般模型和特殊的矩阵模型作比较。 .通过本项目的研究，可以更深入地理解随机矩阵在数学、物理、统计等学科中的重要作用，丰富和发展概率极限理论。

本项目主要研究内容为经典随机矩阵（特别Gauss Unitary Ensembles）的各种变化形式， 如酉矩阵、 HβE、扰动Wigner矩阵、样本协方差矩阵。 着重研究特征根统计量的渐近分布理论，揭示随机矩阵分布规律的普适性原理及其应用。代表性成果包括：（1）获得了HβE模型的特征根局部半圆律，正特征根个数的渐近正态性；（2）建立了对角扰动随机Wigner矩阵线性谱统计量的渐近正态分布，但需要适当规范化；（3）通过比较原理， 克服相依性困难， 获得相关系数矩阵最大特征根的Tracy-Widom律； （4）建立了部分特征根部分和过程的弱收敛性；（5）探索随机矩阵普适性原理到高维数据分析中的应用， 研究了大维数据的球性检验和可分性协方差结构检验，构造出检验统计量， 并在一般情形下（非正态总体），建立渐近正态分布；（6）利用随机矩阵研究中的思想和方法，研究了乘性测度下， 随机整数划分在内点处满足中心极限定理；（7） 研究了随机三角多项式的零点个数， 得到方差的精确估计。 主要技术工具包括：鞅差表示及中心极限定理；广义Stein 方程及递推关系；Stieltjes变换；经典独立随机变量和的极限定理。.通过项目组全体成员的共同努力，顺利完成项目计划，取得了一些重要成果， 积累了大量经验。 特别， 通过本项目的实施， 有机会培养一些年轻教师和研究生。