龙格-库塔方法的延时相关稳定性

Delay differential equations are widely applied in various engineering fields, it is of great importance to investigate numerical methods of such equations. In this project we are concerned with delay-dependent stability of Runge-Kutta methods for delay differential equations of neutral type. At first, delay-dependent stability of analytic solution of linear neutral differential equations is discussed. The bound of unstable characteristic roots in the right half-plane is improved such that it becomes small. The computational effort for checking the delay-dependent stability is reduced. Based on the concept of weak stability, delay-dependent stability conditions for explicit and implicit Runge-Kutta methods are discussed which include investigating a conjecture on a reduced weak stability condition and building a relation between the delay-dependent stability and stable region of the standard Runge-Kutta methods.

延时微分方程组广泛应用于各种工程领域，研究它的数值方法具有重要意义.本项目我们研究龙格-库塔方法针对中立型延时微分方程组的延时相关稳定性.首先是研究解析解的延时相关稳定性，改进不稳定特征根在右半平面的界，使之进一步减小，从而可以减少检验解析解延时相关稳定性的计算量.基于弱稳定性的概念，进一步研究显式和隐式龙格-库塔方法的延时相关稳定性条件，包括研究简化弱稳定性条件的一个猜想和建立延时相关稳定性与标准龙格-库塔方法的稳定域之间的关系.

延时微分方程广泛应用于工程领域的各个方面，研究其数值方法和稳定性具有重要意义。本项目首先研究了线性高阶延时微分方程的延时相关稳定性问题，导出了系统不稳定特征值的两个界。这两个界分别基于系统的谱半径和参数矩阵的范数，它们可以用更少的计算量得到，在实践中对大尺度问题十分有效。然后利用辐角原理，给出了一个可计算的稳定性判据，该判据是系统延时相关稳定性的充要条件。其次，针对延时微分系统的反馈稳定化问题。利用延时系统的状态转移矩阵(基本矩阵)，将不稳定系统状态反馈稳定化问题转化为一个优化问题。证明了反馈增益矩阵稳定延时系统的充要条件。在此基础上，给出了确定反馈增益矩阵的数值算法。最后，当延时系统的不稳定特征根远离虚轴时，系统的离散化会产生较大的误差，因此难以寻求稳定的控制律。为避免这一问题，通过移动参数构造了一个修正的状态方程，使方程渐近稳定。然后，基于修正的状态方程和Parseval定理，给出了稳定控制器和观测器的数值优化算法，推广了文献中的结果。本项目所研究的线性延时微分方程的数值方法的延时相关稳定性及反馈稳定化使基础理论的研究得到了发展与推广，并为非线性系统的研究提供了研究思路。