图的对称嵌入与有限群的斜态射

A dessin is a 2-cell embedding of a connected bipartite graph into an orientable closed surface. A dessin is regular if its group of colour- and orientation-preserving automorphisms acts transitively on the set of edges. A complete regular dessin is a regular dessin with complete bipartite underlying graph, and a nilpotent regular dessin is a regular dessin with nilpotent automorphism group. In this project we investigate three leading problems in the field of algebraic map theory: classification of complete regular dessins, classification of skew-morphisms of cyclic groups and classification of uniquely nilpotent regular dessins. By establishing a correspondence between complete regular dessins, reciprocal pairs of skew-morphisms of cyclic groups and generating pairs of bicyclic groups we relates the study of the first two problems with the structure of finite bicyclic groups; by establishing a correspondence between uniquely nilpotent regular dessins and maximally automorphic p groups we relates the study of the third problem with the theory of finite p groups. The project has the following three aims: (1) A classification of complete regular dessins; (2) A complete classification of skew-morphisms of the cyclic groups; (3) Classification of the uniquely nilpotent regular dessins whose automorphism groups are p-abelian p groups.

涂鸦是连通二部图在可定向闭曲面上的2胞腔嵌入。一个涂鸦称为正则的，如果其保色保定向自同构群在边集上的作用是传递的。底图为完全二部图的正则涂鸦称为完全正则涂鸦，而自同构群为幂零群的正则涂鸦称为幂零正则涂鸦。本项目的研究内容包括代数地图领域中三个前沿问题：完全正则涂鸦的分类、循环群的斜态射的分类和唯一幂零正则涂鸦的分类。通过建立完全正则涂鸦、循环群的互惠斜态射对与双循环群的生成元对之间的对应关系，我们把前两个问题的研究与有限双循环群结构联系起来；而通过建立唯一幂零正则涂鸦与极大自同构p群之间的对应关系，我们又把第三个问题的研究与有限p群的理论联系起来。项目的研究目标主要包括三个方面：（1）给出完全正则涂鸦的分类；（2）给出循环群的斜态射的一般分类；（3）给出以p交换群p群为自同构群的唯一幂零正则涂鸦的分类。

根据Grothendieck的涂鸦理论,每一个定义在代数数域上的紧致黎曼曲面S都能看作黎曼球面的至多有3个奇值点的分歧覆盖,从而自然地给出了S上的一个二部地图.我们把[0,1]区间视作黎曼球面上的平凡二部地图,它仅含一条边和两个顶点,其中一个是白色顶点,另一个是黑色顶点.通过上述分歧覆盖,该平凡二部地图自然地提升到S上的二部地图(常常称为涂鸦).绝对伽罗瓦群G自然地作用在这些涂鸦上并且该作用是忠实的.事实上,该作用限制在正则涂鸦上仍是忠实的.因此,研究黎曼曲面上的正则涂鸦是一个非常重要的问题.本项目的主要目的就是研究图在紧致黎曼曲面上的对称嵌入及相关的组合、代数和拓扑结构.具体来说,我们研究了完全正则涂鸦(即底图为完全二部图的正则涂鸦)的分类问题,有限群斜态射的分类问题以及唯一幂零正则涂鸦的分类问题.得到的最重要的结果如下:.1.我们得到了完全正则涂鸦与循环群的互惠斜态射对之间的一一对应关系,这为研究完全正则涂鸦的分类打开了一条新路..2.我们给出了奇素数幂阶完全正则涂鸦的完全分类..3.我们发展了全新的光滑斜态射理论,作为应用给出了二面体群上光滑斜态射的完全分类..4.我们完全确定了循环2群的斜态射的斜积群的分类..5.我们给出了循环群的作为自同构平方根的斜态射的完全分类..所得到的结果全部经过同行审议,并发表在世界知名的数学杂志上,包括Journal of Group Theory, Discrete Mathematics,Ars Mathematica Contemporea等.这些结果将对该领域相关问题的进一步研究产生重要影响.