图的对称性与曲面嵌入

图的对称性与图在曲面上的嵌入是代数图论和拓扑图论中的重要研究分支。该方面研究不仅与其它数学分支如群论、复分析、几何学等紧密相关，而且在信息科学、分子生物学、密码学及互联网络等科学领域中也有着广泛的应用，因而其研究有着重要的理论意义和实际应用价值。本项目将致力于以下方面的研究：1.利用有限群论、组合的方法及代数拓扑中的正则覆盖理论，在前人工作的基础上，进一步开展给定度数的高对称性图，如弧传递图、半弧传递图的分类工作。2.研究弧传递图在可定向闭曲面上的正则嵌入。图的正则嵌入也称为正则地图。拟利用有限群理论、商图理论及正则地图的代数表示理论研究给定群的正则凯莱地图以及给定图类的正则地图的分类，并研究它们的亏格和可反射性等重要性质。3.图在可定向闭曲面上的2-胞腔嵌入，亦称为地图。拟研究给定图类的地图和可反射地图的同构类的计数，并探索给定图类的地图同构类的亏格分布的一般方法。

本项目主要开展了以下几方面的研究:. 1. 图的对称性研究是代数图论的主要研究内容之一。 利用有限群理论，结合拓扑、组合和图论方法， 研究了弧传递图、边传递图、顶点传递图等高对称性图的构造与分类，取得了一系列成果。在该方面共发表SCI检索论文12篇。. 2. 正则地图的构造与分类是拓扑图论中的重要课题之一。利用有限群理论、商图理论及正规Cayley 图理论，完成了4p 阶对称图的可定向地图的完全分类。值得注意的是关于4p 阶对称图的分类工作是一个长期悬而未决的公开问题。此外，将Mull 等人关于地图同构类的计数方法推广到允许有自环和重边的图类，并首次研究了可反射地图同构类的计数问题。在正则地图与地图同计数方面，共发表SCI检索论文3 篇（其中一篇的电子版已发表）。. 3. 在网络可靠性方面,首先否定地回答了该方面的一个公开问题，即k正则（k≥3）的哈密尔顿图是否一定是超限制性边连通的？其次，比较系统地研究了正则网络的圈边连通性。 特别地，决定了非圈优的正则边传递图，分类了圈优但非超圈连通的正则边传递图。作为应用，否定了该方面一个猜想：即不存在非超圈连通的正则边传递图。另外，还决定了交错群网络的3限制边连通度，并决定了交错群图网络的条件可诊断性。在该方面共发表SCI检索论文3篇(其中一篇的电子版已发表)。