基本群表示，调和度量的构造及其到上同调的应用

该计划是上一项目（No.10771160）研究的继续，我们进而考虑拟射影簇基本群的表示，及相应调和度量的一般存在性之研究，以及到各种上同调的应用。作为上同调研究的基础，我们需有适当的调和度量；技巧上，这有两个问题需做深入探讨。首先是一个李代数（几何）问题；我们寻求Jacobson-Morosov定理的适当高维推广。在前面的研究中，在某些特殊情形，我们已有一些推广；但一般情形，目前的研究表明我们需更一般的推广。另一个问题是带奇性调和度量的存在性和分类；度量的分类相应于Riemann曲面上的第二类 和第三类Abel微分；目前的情形需考虑带扭曲 (twisted)系数的亚纯微分。关于存在性，我们已发展了一个新的变分技巧，我们将应用该技巧于更一般情形。最后应用这些结果于上同调的研究。本计划涉及几何、代数、分析等多方面。

该计划是国家自然基金前一项目（No.10771160）研究的继续，我们进而考虑拟射影簇基本群的表 示，及相应调和度量的一般存在性之研究，以及到各种上同调的应用。技术上，该项目计划探讨两个问题。首先是一个 李代数（几何）问题；我们寻求Jacobson-Morosov定理的适当高维推广。另一个问题是带奇性调和度量的存在性和分类；度量的分类相应于Riemann曲面 上的第二类 和第三类Abel微分；目前的情形需考虑带扭曲 (twisted)系数的亚纯微分。 项目最后希望应用这些结果于上同调的研究。具体地，我们得到如下主要结果：.1.(和合作者 )重新研究了周期映照的奇性，给出了Wilfried Schmid的nilpotent orbit theorem的调和映照版本；具体地，我们需构造某些标准的映照，它实为穿孔圆盘到某些对称空间的 等变测地嵌入。这个研究也大 大地简化了Schmid的结果（特别是Hodge范数的估计）的证明。下一步我们希望 把该结果推广到高维情形。.2.(和合作者) 研究了指数调和函数的梯度估计：在1992年， Minchun Hong给出了指数调 和函数的梯度估计，但要求截取率有下界。在这个研究中我们把它改进为Ricci曲率的要 求，这是最优的条件。.3.(和合作者) 使用T. Colding发展的一些方法给了P. Petersen的一个定理的新证明。