(n-1)-连通，(n+k)-维有限 CW-复形的研究

Classification problem of (stable) homotopy types and homotopy decomposition problem of smash product of finite CW-complexes are two fundamental problems of algebraic topology. For the first problem, mathematicians such as Sucheng Chang、Baues and Drozd classified (n-1)-connected (n+k)-dimensional finite CW-complexes for k<=3 and classified (n-1)-connected (n+k)-dimensional finite CW-complexes with torsion free homologies for k<=6 from 1950s to 1990s. For the second problem, Selick and Jie Wu focused on Moore spaces and made significant progress in recent years.. We propose to,in this project, continue the study on these two problems about (n-1)-connected (n+k)-dimensional finite CW-complexes:.1. Classify the homotopy type of (n-1)-connected (n+k)-dimensional finite CW-complexes with 2 torsion free homologies by improving the matrix problem technique initiated by Drozd. When k>=4, the existence of the complexes with 2-torsion homologies makes the classification problem of such finite CW-complexes be wild, it is natural to restrict to complexes with 2-torsion free homologies. .2. Use the method of homotopy theory together with the method of representation theory given by Jie Wu to get the wedge decomposition of the smash product of Chang-complexes. Then apply these decompositions to compute the homotopy groups of Chang-complexes.

有限CW-复形的（稳定）同伦型分类问题和smash 积的同伦分解问题是代数拓扑中的两个基本问题。关于前一个问题，从上世纪50年代至90年代，张素诚、Baues、Drozd 等数学家对 k<=3 分类了(n-1)-连通，(n+k)-维的有限CW-复形以及对k<=6分类了同调群为自由的情形；关于后一问题，近年 Selick和吴杰对Moore空间进行了广泛的研究。. 本项目将围绕这两个问题对(n-1)-连通，(n+k)-维有限CW-复形进行进一步研究：1、通过改进Drozd的矩阵问题方法研究同调群无2-挠元的(n-1)-连通，(n+k)-维有限CW-复形的同伦型分类问题。因k>=4时同调群带2-挠元的复形导致该类CW-复形的分类问题是Wild，故该问题的研究是很自然的；2、将同伦论与吴杰给出的表示论方法相结合对张复形的smash积进行一点并分解，并应用分解性研究张复形的同伦群。

本项目围绕(n-1)-连通，(n+k)-维有限CW-复形，一方面想要改进Drozd的矩阵问题方法对同调无2-挠元的(n-1)-连通，(n+k)-维有限CW-复形的稳定同伦型进行进一步的分类。另一方面想利用表示论的方法对张复形的积进行一点并分解，并应用分解性研究张复形的同伦群。 对于第一个问题，我们在稳定同伦范畴内完全分类了n-1连通，维数不超过n+5的有限CW-复形的共轭类。对于第二个问题，我们得到了张复形的三重压挤积的一点并分解的大部分结果，并应用这些分解对A_n^{2}-复形（特别是张复形）的同伦群中的周期性问题以及p-素部分的增长性（局部双曲性）方面获得许多结果，并为后续研究积累了丰富的经验。