曲线复形的研究及其在三维流形中的应用

As an important subject in low dimensional topology, the curve complex is widely used in study of low dimensional manifolds, such as mapping class groups, Heegaard splitting and hyperbolic 3-manifolds.. By Thurston's Geometrization conjecture, fully proved by Perelman, and some results of Heegaard splittings of some special 3-manifolds, a 3-manifold admitting a distance at least 3 Heegaard splitting is hyperbolic. Naturally, topologists concern about the topological and geometrical properties of a 3-manifold admitting a distance at most 2 Heegaard splitting. In addition, there is one presentation of the fundamental group, as one important subject in low dimensional topology, of a 3-manifold from a Heegaard splitting. Thus it is interesting to know that how to read out some algebraic properties of the fundamental group of a 3-manifold from a Heegaard splitting.. We focus on the following problems: (1) constructing some metrics on the curve complex and making some comparison between all those metrics ; (2) making some classifications of 3-manifolds admitting distance at most 2 Heegaard splitting; (3) try to give some general and sufficient condition from Heegaard splitting so that the rank of fundamental group equals the minimal Heegaard genus of a 3-manifold.

曲线复形是低维拓扑研究的重要对象. 近些年, 曲线复形的一些研究结果被广泛应用于低维流形的研究, 例如曲面映射类群, 三维流形的Heegaard 分解以及双曲三维流形. .由 Thurston几何化定理及特殊类型三维流形的 Heegaard 分解的结果可知, 有一个距离至少为3的 Heegaard 分解的三维流形是双曲的. 自然地, 拓扑学家关心具有距离至多为2的 Heegaard 分解的三维流形的几何与拓扑性质. 此外三维流形的基本群是低维流形的重要研究对象之一. 因此拓扑学家也关心如何从 Heegaard 分解读出流形基本群的一些性质..本项目主要研究以下问题: 构造与比较曲线复形的一系列度量; 刻画具有距离不大于2的 Heegaard 分解的三维流形几何及拓扑性质; 研究 Heegaard分解的一般条件使得三维流形基本群的秩等于其最小Heegaard亏格.

对于任意给定的一个近可定向的三维流形，它总是具有一个Heegaard分解。因此，研究Heegaard分解是研究三维流形几何与拓扑性质的一种途径。由于一个Heegaard分解完全由其Heegaard曲面和相粘方式决定，因此研究曲面的曲线复形是研究Heegaard分解的一个重要途径。..通过定义不同类型边的长度，我们建立从欧式三维空间到曲面曲线复形度量之间的一个联系；完全刻画欧式空间中实现为曲线复形度量的一个子集。..通过研究Heegaard曲面中曲线的相交情形，我们证明了如下的事情：（1） 对于一个映射环面流形，如果它的迁移长度不小于8，那么它的经典Heegaard分解是非稳定化的；（2）如果一个Heegaard分解的距离不小3且局部复杂的，那么它的边界稳定化是非稳定化的。..由三维流形的几何化定理可知，任意一个距离不小于3的Heegaard分解对应于一个双曲三维流形。距离为0的Heegaard分解是一个亏格更小的Heegaard分解的稳定化，而任意一个距离为1的Heegaard分解总是可以表示为多个距离不小于2的Heegaard 分解的融合积。因此，重点在于研究距离为2的Heegaard分解对应的几何。通过定义曲线复形中局部复杂的测地线，我们定义了局部复杂且距离为2的Heegaard分解；证明了该Heegaard分解对应的流形要么是双曲要么是一个双曲流形和一个Seifert纤维空间的融合积，并给出一个双曲三维流形的充分必要条件。这一结果拓展了1999年Thompson关于亏格为2情形的结论。..通过研究了Heegaard距离与Dehn手术之间的关系，我们证明了对于任意一个纽结补空间的亏格为2的Heegaard分解，如果它的Heegaard距离不小于3，那么存在无穷多种Dehn 填补保持距离不下降。这一结果类比于双曲三维流形的Dehn filling 定理。..通过研究Heegaard分解的映射类群，对于任意给定的一个映射环面，我们证明了如果它的迁移长度不小于8，那么其经典Heegaard分解的映射类群都由可约元素组成。