具定向对流非线性反应扩散方程的若干定性问题

This project is devoted to the study of a class of nonlinear reaction-diffusion equations with orientated convection, which come from a variety of natural phenomena appeared in physics, chemistry, differential geometry, dynamics of biological groups and so on. In this project, we shall pay our attention to the study of qualitative theories in high dimensional space of solutions for this class of equations, including propagation properties of disturbances, waiting time problems and asymptotic behavior of solutions. We expect to establish the critical exponents theories, which can be used to describe the influence of reaction source, orientated convection and diffusion on the properties of solutions, as well as the relationship between them. Complicacies of convection and interface of support of solutions in high dimensional space indicate that this model is not generalized simply from one dimensional case. Additionally, existence of the multiple nonlinearities, degeneracies and singularities makes the model be more actual, but, at the same time, leads to essential difficulties. So our research not only need the classical mathematical tools, but also need to make innovations in the research ideas and methods, and it will enrich and perfect the theory of degenerate parabolic equations to some extent.

本项目旨在研究具有鲜明物理背景的具定向对流反应扩散方程, 它来源于物理学、化学、微分几何以及生物种群动力学等领域中广泛存在的含源的对流-扩散过程. 本项目主要研究这类方程解在高维空间中的若干定性问题, 包括扰动的扩张与收缩等传播方式问题, 等候时间问题以及解的渐近行为问题. 本项目将建立利用方程或初边值条件中指数或系数刻画解性质变化的临界指标理论, 明确给出高维空间中反应源、定向对流和扩散对解性质的具体影响以及它们之间存在着的制约关系. 高维空间中对流的多变性以及解支集边界面的复杂性表明该模型并不是一维情形的简单推广. 此外, 多种非线性、退化性与奇异性的存在, 使得模型更接近于实际, 同时也引起了本质性的研究困难. 因此本项目的研究既需要经典的数学理论与研究工具, 也需要在研究思路和方法上有所创新, 将在一定程度上丰富和完善已有的退化抛物方程理论.

本项目拟研究具定向对流反应扩散方程解的若干定性性质，包括扰动的有限传播，等候时间以及解的长时间渐近性质。本项目执行期间，我们在解的适定性以及长时间渐近性质上，比如爆破、淬火与长时间衰减估计等，取得了一些成果：（1）对有界区域上的分数阶p-Laplacian发展方程，在低、临界、高三类初始能量的前提下分别研究了弱解的有限时间爆破与整体存在性，并分别给出了解的爆破估计或长时间的衰减估计；（2）对于带非线性源的整数阶p-Laplacian发展方程，在奇异边界条件下，给出了解在边界淬火的充分条件；（3）对分数阶Cahn-Hilliard方程的光滑解给出了时空一致估计。同时，受本项目资助，我们也得到了浅水方程整体解的适定性以及部分耗散的MHD方程等流体力学模型弱解的长时间最优衰减速率。本项目在研究方法与结果上均有不同程度的创新，丰富了已有的偏微分方程理论。