随机波动率模型下金融衍生产品定价中的条件蒙特卡罗加速方法

Derivative pricing is the core content of modern financial engineering, and the stochastic volatility model fits the market data well, thus demands numerical solution with fast speed and high efficiency. Monte Carlo method is an important tool of financial calculations especially for multi-dimension problems as its error convergence rate is independent with the problem dimension. This project focuses on the accelerating methods of conditional Monte Carlo simulation for pricing derivatives under stochastic volatility model using the tools of stochastic analysis and the theory of partial differential equations in order to establish a robust and effective numerical algorithm. Firstly, based on theoretical analysis, a conditional Monte Carlo pricing formula is constructed for the exotic options such as Asian options and barrier options and a class of martingale control variate method and importance sampling method is designed. Then, with the help of principal components method, a universal and efficient accelerating method for the multi-asset options under stochastic volatility model is also obtained. Furthermore, the conditional Monte Carlo pricing framework is discovered under stochastic volatility and stochastic interest rate hybrid model, in order to pricing the interest rate market model. The research project can not only enrich the theory in financial mathematics, but also help the industry to develop the fast program in pricing derivatives and measuring risk.

金融衍生产品定价是现代金融数学的核心内容，随机波动率模型更贴合实际市场数据，从而需对其研究快速高效的数值算法。蒙特卡罗模拟方法因其收敛速度与问题维数无关的特点，成为金融计算中尤其是高维问题中的一种重要工具。本项目综合运用随机分析、偏微分方程理论和条件蒙特卡罗加速技巧，拟对随机波动率模型下衍生产品的定价问题进行研究，以期建立稳健有效的数值算法。首先在理论分析的基础上，对包含亚式期权和障碍期权在内的奇异期权构建条件蒙特卡罗定价公式，探讨最优控制变量和最优重要抽样方法的选取方式和误差估计。其次，结合主成分分析，构建一种适用于随机波动率模型下多资产期权定价的高效而通用的加速算法。此外，也将推导随机波动率与随机利率混合模型下条件蒙特卡罗方法的定价框架，解决诸如市场利率模型下衍生产品的定价问题。本项目研究不仅可以丰富相关金融数学问题的理论知识，更可以为业界发展衍生产品定价和风险度量的快速算法提供支持。

本项目的研究成果有以下几方面：.1、对Heston随机波动率模型下及带跳的障碍期权，给出了其期权价格公式和条件蒙特卡罗定价公式，推导了相应的希腊字母。数值试验说明条件蒙特卡罗模拟可以加速期权定价过程。.2、对随机波动率模型下的多资产期权，首先推导了条件蒙特卡罗定价公式，基于鞅表示定理和常数波动率模型下多资产期权价格的解析解设计了鞅控制变量方法。针对各种多资产期权的数值结果表明这种鞅控制变量方法能够大大减小模拟方差，与函数控制变量方法相比，对相关系数比较敏感，而对随机波动率的波动率和资产个数比较稳定。.3、将条件蒙特卡罗鞅控制变量方法拓展到随机波动率和随机利率混合模型的欧式期权定价问题上。基于不同的参数选取方式，构造了两种不同的鞅控制变量方法。 数值结果表明， 两种鞅控制变量方法能够大大提高计算效率。.4、针对多个随机因子的欧式期权定价问题，提出了一种基于主成分分析的多元控制变量的蒙特卡罗加速框架。由于主成分的独立性，使用多元控制变量的蒙特卡罗模拟方法比单个控制变量具有更好的加速效果。对多资产期权和亚式期权的数值实验验证了本算法的高效性和稳定性。